基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
パトカーa = 6 m/s²車34 m/s

一定の 34 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、6 m/s² で一様に加速する。 パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

vcar = 34 m/sapolice = 6 m/s²v0,police = 0
t = s
2.運動学むずかしい
d = ?

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.2 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

ttotal = 3.2 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.ニュートンの法則ふつう
7 kg2.5 kg

質量 7 kg と 2.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。 糸の張力 T を求めよ。

m1 = 7 kgm2 = 2.5 kgg = 9.81 m/s²
T = N
4.ニュートンの法則むずかしい
m1​ = 8 kg1.5 kg摩擦なし

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1.5 kg のおもりとつながれている。 机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。 全体の加速度 a を求めよ。

m1 = 8 kgm2 = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.放物運動ふつう
v0​ = 40 m/s70°到達距離H = ?

ボールを 平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v0 = 40 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²
H = m
6.放物運動むずかしい
h = 15 mv0​ = 32 m/s20°x = ?

ボールを 高さ 15 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v0 = 32 m/sθ = 20°h = 15 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.仕事とエネルギーふつう
45°L = 1.5 m0.5 kg

質量 0.5 kg の小球が長さ 1.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 45° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 1.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²
T = N
8.仕事とエネルギーむずかしい
h = 5 mL = 2 mμ = 0.15k = 5000 N/m

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。 ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.運動量と衝突ふつう
4.5 kg9 m/s3.5 kg

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 3.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。 衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′2 を求めよ。

m1 = 4.5 kgm2 = 3.5 kgv1 = 9 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
10.運動量と衝突むずかしい
1000 kgv1​ = ?1900 kg

質量 1000 kg の自動車が、駐車中の質量 1900 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 10.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.8 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v1 を求めよ。

m1 = 1000 kgm2 = 1900 kgd = 10.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²
v1 = m/s
11.静水圧ふつう
ゲートd = 1 mH = 1.5 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 3 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 100 mm, p1​ = 380 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 380 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 380 kPav1 = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.連続の式とベルヌーイむずかしい
pair​ = 110 kPav = ?d = 30 mmh = 4.5 m

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 110 kPa の圧縮空気がある。水面より 4.5 m 下にある直径 30 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

pair = 110 kPa (ゲージ圧)h = 4.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
15.理想気体の状態方程式ふつう
380 g のArV = 10 LT = 45 °CP = ?

容積 10 L のタンクに、温度 45 °C のArが 380 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 380 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のArが 150 kPa、5 L、20 °C から 450 kPa、190 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 150 kPaV1 = 5 LT1 = 20 °CP2 = 450 kPaT2 = 190 °C
V2 = L
17.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 525 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 2900 kJQL​W = ?

熱機関が 525 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。 この機関は 2900 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 Wmax を求めよ。

TH = 525 °CTL = 25 °CQH = 2900 kJ
Wmax = kJ
18.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 400 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 500 kJQL​ = 275 kJW = 225 kJ

熱機関が 1 サイクルあたり 400 °C の熱源から 500 kJ の熱を受け取り、225 kJ の仕事をして、残りを 25 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 Sgen を求めよ。

TH = 400 °CTL = 25 °CQH = 500 kJW = 225 kJ
Sgen = kJ/K
19.波・音・光学ふつう
L = 0.65 mn = 3

両端が開いた管 の長さは 0.65 m です。音速は 343 m/s です。その 第 3 倍音 の振動数 f3 を求めてください。

v = 343 m/sn = 3L = 0.65 m
f3 = Hz
20.波・音・光学むずかしい
θa​ = ?n1​ = 1.48n2​ = 1.38n0​ = 1.00

光ファイバーのコアは n₁ = 1.48、クラッドは n₂ = 1.38 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θa を求めてください。

n1 = 1.48n2 = 1.38n0 = 1.00
θa = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 11.33 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/6 = 11.33 s

答え

t = 11.33 s

その瞬間、パトカーは 2v = 68 m/s で走っています。

2.運動学

答え: d = 46.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.2 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1098))/(2·4.905) = 3.066 s

深さ

d = ½·9.81·3.066² = 46.1 m

答え

d = 46.1 m
3.ニュートンの法則

答え: T = 36.14 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (7 − 2.5)·9.81/(7 + 2.5) = 4.647 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m2·g = m2·a → T = 2.5·(9.81 + 4.647) = 36.14 N

答え

T = 36.14 N
4.ニュートンの法則

答え: a = 1.549 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (14.71 − 0)/9.5 = 1.549 m/s²

答え

a = 1.549 m/s²
5.放物運動

答え: H = 72.01 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 40·cos 70° = 13.68 m/s
vy = v0·sin θ = 40·sin 70° = 37.59 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 37.59²/(2·9.81) = 72.01 m

答え

H = 72.01 m
6.放物運動

答え: x = 95.92 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 32·cos 20° = 30.07 m/s
vy = v0·sin θ = 32·sin 20° = 10.94 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 10.94·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (10.94 + √(119.8 + 294.3))/9.81 = 3.19 s

水平距離

x = vx·t = 30.07·3.19 = 95.92 m

答え

x = 95.92 m
7.仕事とエネルギー

答え: T = 7.778 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。 円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 45°) = 8.62 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·8.62/1.5 = 7.778 N

答え

T = 7.778 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 7.778 N。

8.仕事とエネルギー

答え: x = 19.21 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.15·2) = 92.21 J

最大縮み

½kx² = 92.21 → x = √(2·92.21/5000) = 0.1921 m = 19.21 cm

答え

x = 19.21 cm
9.運動量と衝突

答え: v′2 = 10.13 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′1 = (4.5 − 3.5)/(4.5 + 3.5)·9 = 1.125 m/s
v′2 = 2·4.5/(4.5 + 3.5)·9 = 10.13 m/s

答え

v′2 = 10.13 m/s
10.運動量と衝突

答え: v1 = 37.23 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·10.5) = 12.84 m/s

衝突での運動量

m1·v1 = (m1 + m2)·V → v1 = 2900·12.84/1000 = 37.23 m/s

答え

v1 = 37.23 m/s
(134 km/h)
11.静水圧

答え: F = 51.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
ゲートd = 1 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·3 = 51.5 kN

答え

F = 51.5 kN
12.静水圧

答え: ycp = 4.667 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
ゲートd = 3 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.5·6 = 271.5 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.5 + 4.5/(4.5·6) = 4.667 m

答え

ycp = 4.667 m
13.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 371.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(100/75)² = 4.889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 4.889²)/1000 = −8.169 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 380 + (−8.169) = 371.8 kPa

答え

p2 = 371.8 kPa
14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 17.56 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(110000/1000 + 9.81·4.5)) = 17.56 m/s

答え

v = 17.56 m/s
15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2516 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 380/39.95 = 9.512 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

圧力

P = nRT/V = 9.512·8.314·318.1/0.01 = 2516 kPa

答え

P = 2516 kPa
16.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 2.633 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 293.1 K, T2 = 463.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(150/450)·(463.1/293.1) = 2.633 L

答え

V2 = 2.633 L
17.熱機関と冷凍機

答え: Wmax = 1817 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 525 + 273.15 = 798.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 298.1/798.1 = 62.64 %

最大仕事

Wmax = ηmax·QH = 0.6264·2900 = 1817 kJ

答え

Wmax = 1817 kJ
18.熱機関と冷凍機

答え: Sgen = 0.1796 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は QH/TH を失い、低温熱源は QL/TL を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

QL = QH − W = 500 − 225 = 275 kJ

絶対温度

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔSH = −500/673.1 = −0.7428 kJ/K
ΔSL = 275/298.1 = 0.9224 kJ/K
Sgen = 0.9224 − 0.7428 = 0.1796 kJ/K

答え

Sgen = 0.1796 kJ/K

Sgen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: f3 = 791.5 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.65/3 = 0.4333 m

振動数

f = v/λ = 343/0.4333 = 791.5 Hz

答え

f3 = 791.5 Hz
20.波・音・光学

答え: θa = 32.33 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θc = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/do + 1/di に従い、倍率は m = −di/do です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。di > 0 は実像、di < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.38/1.48 = 0.9324 → θc = 68.82°

開口数

NA = √(1.48² − 1.38²) = 0.5348

受光角

θa = arcsin(0.5348) = 32.33°

答え

θa = 32.33°

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