基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
パトカーa = 4.5 m/s²車23 m/s

一定の 23 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4.5 m/s² で一様に加速する。 パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

vcar = 23 m/sapolice = 4.5 m/s²v0,police = 0
t = s
2.運動学むずかしい
v₀ = 14 m/s5 m

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 14 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。 地面からの最高点の高さ hmax を求めよ。

v₀ = 14 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.ニュートンの法則ふつう
θ = 20°a = ?m = 20 kg

質量 20 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.ニュートンの法則むずかしい
m1​ = 9.5 kg10 kgθ = 30°

30° の斜面上にある質量 9.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 10 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。 ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。 糸の張力 T を求めよ。

m1 = 9.5 kgm2 = 10 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.放物運動ふつう
12 my = ?v0​ = 20 m/s45°

水平な地面からボールを 20 m/s、水平から 45° 上向きに、12 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 20 m/sθ = 45°x = 12 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.放物運動むずかしい
h = 40 mv0​ = 20 m/s50°x = ?

ボールを 高さ 40 m の崖の上から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v0 = 20 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.仕事とエネルギーふつう
54 km/h2°800 kg

質量 800 kg の自動車が 2° の坂を一定の 54 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 650 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 800 kgθ = 2°Fr = 650 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²
P = kW
8.仕事とエネルギーむずかしい
F = 50 N30°μ = 0.255 kg

質量 5 kg のブロックが 30° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 50 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.25 である。ブロックが斜面を 8 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 5 kgF = 50 Nθ = 30°μ = 0.25d = 8 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.運動量と衝突ふつう
1.5 kgv = ?5 gh = 19 cm

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 19 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1.5 kgh = 19 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.運動量と衝突むずかしい
8 m/s12 m/s

質量 0.4 kg のボールが 8 m/s で壁に当たり、12 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。 壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.4 kgvin = 8 m/svout = 12 m/sΔt = 20 ms
J = N·s
11.静水圧ふつう
ゲートd = 3 mH = 2.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水圧むずかしい
ゲートd = 2.5 mH = 1.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 75 mm, p1​ = 370 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 370 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 370 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 200 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水が、200 mm から 75 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 200 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 200 kPav1 = 2 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想気体の状態方程式ふつう
320 g のArV = 30 LT = 50 °CP = ?

容積 30 L のタンクに、温度 50 °C のArが 320 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 320 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のCO₂が 350 kPa、10 L、40 °C から 700 kPa、250 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 350 kPaV1 = 10 LT1 = 40 °CP2 = 700 kPaT2 = 250 °C
V2 = L
17.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 500 °CTL​ = 10 °CEQH​QL​η = 35%

熱機関が 500 °C の熱源から熱を受け取り、10 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 35% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 500 °CTL = 10 °Cη = 35%
ηII = %
18.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 800 °CT0​ = 25 °CTL​ = -10 °CERWQ̇H​ = 60 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 800 °C の熱源から 60 kW の熱を受け取り、25 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -10 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 25 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 800 °CT0 = 25 °CTL = -10 °CQ̇H = 60 kW
Q̇L = kW
19.波・音・光学ふつう
Pβ = ?r = 2 m

小さなスピーカーが、あらゆる方向に均等に 5 W の音のパワーを放射します。2 m の距離での音の強さのレベル β を求めてください。

P = 5 Wr = 2 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
20.波・音・光学むずかしい
SO30 m/sf = 35 kHz

静止しているセンサーが、30 m/s で近づいてくる車に向けて 35 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 fb を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 10.22 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/4.5 = 10.22 s

答え

t = 10.22 s

その瞬間、パトカーは 2v = 46 m/s で走っています。

2.運動学

答え: hmax = 14.99 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

地面からの高さ

hmax = 5 + 9.99 = 14.99 m

答え

hmax = 14.99 m
3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²
4.ニュートンの法則

答え: T = 75.83 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 98.1 N
m₁·g·sin θ = 46.6 N
μ·m₁·g·cos θ = 8.071 N

系の加速度

a = (98.1 − 46.6 − 8.071)/19.5 = 2.227 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m2·g − T = m2·a → T = 10·(9.81 − 2.227) = 75.83 N

答え

T = 75.83 N
5.放物運動

答え: y = 8.468 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

vx = 20·cos 45° = 14.14 m/s
t = x/vx = 12/14.14 = 0.8485 s

その時刻での高さ

y = 14.14·0.8485 − ½·9.81·0.8485² = 8.468 m

答え

y = 8.468 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: x = 61.92 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 20·cos 50° = 12.86 m/s
vy = v0·sin θ = 20·sin 50° = 15.32 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 15.32·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (15.32 + √(234.7 + 784.8))/9.81 = 4.817 s

水平距離

x = vx·t = 12.86·4.817 = 61.92 m

答え

x = 61.92 m
7.仕事とエネルギー

答え: P = 13.86 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。 動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 800·9.81 = 7848 N
mg·sin θ = 7848·sin 2° = 273.9 N
F = 273.9 + 650 = 923.9 N

電力

v = 54/3.6 = 15 m/s
P = F·v = 923.9·15 = 13858 W = 13.86 kW

答え

P = 13.86 kW
8.仕事とエネルギー

答え: v = 6.895 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿った力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N
mg·sin θ = 24.52 N
μ·mg·cos θ = 10.62 N

仕事とエネルギー

½mv² = (50 − 35.14)·8 = 118.8 J
v = √(2·118.8/5) = 6.895 m/s

答え

v = 6.895 m/s
9.運動量と衝突

答え: v = 581.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.19) = 1.931 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1.5)·1.931/0.005 = 581.2 m/s

答え

v = 581.2 m/s
10.運動量と衝突

答え: J = 8 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(12 + 8) = 8 N·s

答え

J = 8 N·s
11.静水圧

答え: F = 104.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
ゲートd = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·2.5 = 104.2 kN

答え

F = 104.2 kN
12.静水圧

答え: F = 49.02 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
ゲートd = 2.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.25·1.5 = 49.02 kN

答え

F = 49.02 kN
13.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 280 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 370 + (−90) = 280 kPa

答え

p2 = 280 kPa
14.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 51.81 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(200/75)² = 14.22 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 14.22²)/1000 = −99.14 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−99.14) − 49.05 = 51.81 kPa

答え

p2 = 51.81 kPa
15.理想気体の状態方程式

答え: P = 717.3 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 320/39.95 = 8.01 mol
T = 50 + 273.15 = 323.1 K

圧力

P = nRT/V = 8.01·8.314·323.1/0.03 = 717.3 kPa

答え

P = 717.3 kPa
16.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 8.353 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 313.1 K, T2 = 523.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(350/700)·(523.1/313.1) = 8.353 L

答え

V2 = 8.353 L
17.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 55.23 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 500 + 273.15 = 773.1 K
TL = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 283.1/773.1 = 63.38 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 35/63.38 = 55.23 %

答え

ηII = 55.23 %
18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 325.8 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 800 + 273.15 = 1073 K
T0 = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = -10 + 273.15 = 263.1 K

機関の仕事

η = 1 − 298.1/1073 = 0.7222
Ẇ = 0.7222·60 = 43.33 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 263.1/(298.1 − 263.1) = 7.519
Q̇L = 7.519·43.33 = 325.8 kW

答え

Q̇L = 325.8 kW
19.波・音・光学

答え: β = 110 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さ

I = P/(4πr²) = 0.09947 W/m²

レベル

β = 10·log₁₀(0.09947/10⁻¹²) = 110 dB

答え

β = 110 dB
20.波・音・光学

答え: fb = 6709 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 35000·(343 + 30)/343 = 38061 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 30) = 41709 Hz

うなりの振動数

fb = |f″ − f| = 6709 Hz

答え

fb = 6709 Hz

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