基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.8 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 45 km/ht_r = 0.8 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 18 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 18 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 75 N が前の 6 kg のブロックを引き、11 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 11 kgm₂ = 6 kgF = 75 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 40° 上向きに打ち出すと、35 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 40°R = 35 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 40 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.6 である。停止距離 d を求めよ。

v = 40 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 20 kg のブロックが 15° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 115 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.1 である。ブロックが斜面を 6 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 20 kgF = 115 Nθ = 15°μ = 0.1d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.2 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.2 kgv_in = 13 m/sv_out = 14 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 220 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 150 mm、のど部 75 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 370 mm である。流量係数は 0.95 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 370 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

700 kPa、65 °C において、N₂ 10 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 10 gM = 28.01 g/molP = 700 kPaT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

100 kPa、50 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 100 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 200 °C の高温熱源と 40 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 200 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 900 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、30 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の仕事は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 900 °CT_L = 30 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 70 dB になります。同一の機械 10 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 70 dBn = 10

β = dB

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 16 cm の凹面鏡の 6 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 6 cmR = 16 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: d = 23.02 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 12.5·0.8 = 10 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

合計

d = 10 + 13.02 = 23.02 m

答え

d = 23.02 m

2.運動学

答え: t = 4.744 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.744 s

答え

t = 4.744 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.923 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答え

a = 1.923 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 48.53 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 33.35)/17 = 2.45 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(2.45 + 1.962) = 48.53 N

答え

T = 48.53 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: v₀ = 18.67 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·35/sin 80°) = 18.67 m/s

答え

v₀ = 18.67 m/s

6.放物運動

答え: t = 4.751 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 45° = 19.09 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 45° = 19.09 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 19.09·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.09 + √(364.5 + 392.4))/9.81 = 4.751 s

答え

t = 4.751 s

7.仕事とエネルギー

答え: d = 10.49 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.6·9.81) = 10.49 m

答え

d = 10.49 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 5.212 m/s

斜面に沿った力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 50.78 N

μ·mg·cos θ = 18.95 N

仕事とエネルギー

½mv² = (115 − 69.73)·6 = 271.6 J

v = √(2·271.6/20) = 5.212 m/s

答え

v = 5.212 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −3.636 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·8 = −3.636 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·8 = 4.364 m/s

答え

v′₁ = −3.636 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: J = 5.4 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.2·(14 + 13) = 5.4 N·s

答え

J = 5.4 N·s

11.静水圧

答え: F = 64.38 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

答え

F = 64.38 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.75·2.25 = 84.84 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.4219/(3.75·2.25) = 3.8 m

答え

y_cp = 3.8 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 219.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/100)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−0.5078) = 219.5 kPa

答え

p₂ = 219.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 41.46 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.37 = 45734 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 75/150 = 0.5

v₂ = √(2·45734/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.878 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.004418·9.878 = 0.04146 m³/s = 41.46 L/s

答え

Q = 41.46 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 1.434 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 10/28.01 = 0.357 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

体積

V = nRT/P = 0.357·8.314·338.1/700 = 1.434 L

答え

V = 1.434 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.638 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 100·44.01/(8.314·323.1) = 1.638 kg/m³

答え

ρ = 1.638 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 33.82 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/473.1 = 33.82 %

答え

η_max = 33.82 %

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 465 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

仕事が等しい

W = Q·(1 − T_low/T_high) で、Q/T はどの熱源でも同じなので、W は温度降下に比例します。

T_m = (1173 + 303.1)/2 = 738.2 K = 465 °C

答え

T_m = 465 °C

19.波・音・光学

答え: β = 80 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 10·I₁

レベル

β = 70 + 10·log₁₀(10) = 80 dB

答え

β = 80 dB

20.波・音・光学

答え: m = 4

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 8 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/6

d_i = −24 cm

倍率

m = −(−24)/6 = 4

答え

m = 4

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