基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.8 s で、その後、自動車は一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 80 km/ht_r = 0.8 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 3 s の間、一定の上向きの加速度 32 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 32 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 15 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 90 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。停止距離 d を求めよ。

v = 90 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 2.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 10 m から静かに放される。ループの最高点での台車の速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 10 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 20 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 20 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 1.5 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 10 g の弾丸を、長さ 0.5 m の軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 15° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 1.5 kgL = 0.5 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 25 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 6 m 上に保たれ、流量係数は 0.64 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 25 mmh = 6 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を求めよ。

d = 20 mmz_C = +0.5 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 85 °C のO₂が 260 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 260 gM = 32 g/molV = 50 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

400 kPa、200 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 400 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 300 °C の熱源から 4900 kJ の熱を受け取り、2421 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 300 °CQ_H = 4900 kJQ_L = 2421 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 10 °C の熱源から熱をくみ上げ、55 °C の暖房システムに 17 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 30% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 55 °CT_L = 10 °Cη_II = 30%Q̇_H = 17 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.4 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 0.4 m

f₅ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、0.15 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 500 nmd = 0.15 mmL = 1 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 50.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.8 = 17.78 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·7.5) = 32.92 m

合計

d = 17.78 + 32.92 = 50.7 m

答え

d = 50.7 m

2.運動学

答え: h_max = 613.7 m

動力飛行段階

v₁ = 32·3 = 96 m/s

h₁ = ½·32·3² = 144 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 96²/(2·9.81) = 469.7 m

h_max = 144 + 469.7 = 613.7 m

答え

h_max = 613.7 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.618 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答え

a = 3.618 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 28.26 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 5.396)/10.5 = 4.158 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·4.158 + 5.396 = 28.26 N

答え

T = 28.26 N

5.放物運動

答え: H = 28.3 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10.99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23.56 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 23.56²/(2·9.81) = 28.3 m

答え

H = 28.3 m

6.放物運動

答え: x = 18.62 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 30° = 10.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 6·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6 + √(36 + 98.1))/9.81 = 1.792 s

水平距離

x = v_x·t = 10.39·1.792 = 18.62 m

答え

x = 18.62 m

7.仕事とエネルギー

答え: d = 63.71 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 90/3.6 = 25 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.5·9.81) = 63.71 m

答え

d = 63.71 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 9.905 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10 − 5) = 98.1 m²/s²

v = 9.905 m/s

答え

v = 9.905 m/s

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v = 150.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 1.5)·1.981/0.02 = 150.5 m/s

答え

v = 150.5 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 87.3 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 15°) = 0.01704 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.01704) = 0.5782 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.51·0.5782/0.01 = 87.3 m/s

答え

v = 87.3 m/s

11.静水圧

答え: F = 198.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·4.5 = 198.7 kN

答え

F = 198.7 kN

12.静水圧

答え: F = 89.03 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·3.75 = 89.03 kN

答え

F = 89.03 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 3.409 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0004909·10.85 = 0.003409 m³/s = 3.409 L/s

答え

Q = 3.409 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 1.392 L/s

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·4.429 = 0.001392 m³/s = 1.392 L/s

答え

Q = 1.392 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 483.9 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 260/32 = 8.125 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

圧力

P = nRT/V = 8.125·8.314·358.1/0.05 = 483.9 kPa

答え

P = 483.9 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.062 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 400·39.95/(8.314·473.1) = 4.062 kg/m³

答え

ρ = 4.062 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 10.03 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 573.1·2421/4900 = 283.2 K = 10.03 °C

答え

T_L = 10.03 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 7.771 kW

絶対温度

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 283.1) = 7.292

COP = 0.3·7.292 = 2.188

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 17/2.188 = 7.771 kW

答え

Ẇ = 7.771 kW

19.波・音・光学

答え: f₅ = 1072 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.4/5 = 0.32 m

振動数

f = v/λ = 343/0.32 = 1072 Hz

答え

f₅ = 1072 Hz

20.波・音・光学

答え: Δy = 3.333 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3.333 mm

答え

Δy = 3.333 mm

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