基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.7 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 14 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 14 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、35° の斜面を速さ 10.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 10.5 m/sθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 35° 上向きに打ち出すと、110 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 35°R = 110 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 70 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.4 である。停止距離 d を求めよ。

v = 70 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg の台車が、半径 2 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 6.4 m から静かに放される。ループの最高点での台車の速さ v を求めよ。

m = 10 kgh = 6.4 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 19 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 19 m/sv_out = 14 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 35 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 35 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 100 mm、のど部 60 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 310 mm である。流量係数は 0.95 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 310 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 5 °C のCH₄が 20 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 20 gM = 16.04 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

200 kPa、40 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 200 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 4 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -10 °C に保ち、25 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -10 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 4 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 400 °C の熱源から 2800 kJ の熱を受け取り、1260 kJ の仕事をして、残りを 20 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 400 °CT_L = 20 °CQ_H = 2800 kJW = 1260 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦は、300 m/s で波が伝わる中で、第 4 倍音が 800 Hz になる必要があります。その長さ L を求めてください。

v = 300 m/sn = 4f₄ = 800 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、25 m/s で近づいてくる車に向けて 30 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 77.16 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·5) = 77.16 m

答え

s = 77.16 m

2.運動学

答え: d = 60.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1269))/(2·4.905) = 3.523 s

深さ

d = ½·9.81·3.523² = 60.86 m

答え

d = 60.86 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.896 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答え

a = 5.896 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 8.068 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 35° + 0.15·cos 35°) = 6.832 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 10.5²/(2·6.832) = 8.068 m

答え

d = 8.068 m

5.放物運動

答え: v₀ = 33.89 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·110/sin 70°) = 33.89 m/s

答え

v₀ = 33.89 m/s

6.放物運動

答え: t = 3.816 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 40° = 17.62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 40° = 14.78 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 14.78·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.78 + √(218.6 + 294.3))/9.81 = 3.816 s

答え

t = 3.816 s

7.仕事とエネルギー

答え: d = 48.18 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.4·9.81) = 48.18 m

答え

d = 48.18 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 6.862 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6.4 − 4) = 47.09 m²/s²

v = 6.862 m/s

答え

v = 6.862 m/s

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 5.714 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 0.5)/(3 + 0.5)·8 = 5.714 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0.5)·8 = 13.71 m/s

答え

v′₁ = 5.714 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 412.5 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(14 + 19) = 8.25 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 8.25/0.02 = 412.5 N

答え

F_avg = 412.5 N

11.静水圧

答え: F = 67.44 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN

答え

F = 67.44 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.333 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.25·2.25 = 50.9 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.4219/(2.25·2.25) = 2.333 m

答え

y_cp = 2.333 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 8.367 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·35000/1000) = 8.367 m/s

答え

v = 8.367 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 25.2 L/s

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.31 = 38318 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 60/100 = 0.6

v₂ = √(2·38318/(1000·(1 − 0.1296))) = 9.383 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.002827·9.383 = 0.0252 m³/s = 25.2 L/s

答え

Q = 25.2 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 57.67 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 20/16.04 = 1.247 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

圧力

P = nRT/V = 1.247·8.314·278.1/0.05 = 57.67 kPa

答え

P = 57.67 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.069 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

密度

ρ = 200·39.95/(8.314·313.1) = 3.069 kg/m³

答え

ρ = 3.069 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 4.532 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 4·298.1/263.1 = 4.532 kW

答え

Q̇_H = 4.532 kW

入力動力：Ẇ = 0.532 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.094 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 2800 − 1260 = 1540 kJ

絶対温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −2800/673.1 = −4.16 kJ/K

ΔS_L = 1540/293.1 = 5.253 kJ/K

S_gen = 5.253 − 4.16 = 1.094 kJ/K

答え

S_gen = 1.094 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: L = 0.75 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 300/800 = 0.375 m

長さ

L = nλ/2 = 4·0.375/2 = 0.75 m

答え

L = 0.75 m

20.波・音・光学

答え: f″ = 34717 Hz

車での振動数

f′ = 30000·(343 + 25)/343 = 32187 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 25) = 34717 Hz

答え

f″ = 34717 Hz

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