基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 35° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 45° 上向きに打ち出すと、85 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 45°R = 85 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 30 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 27 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 70°h_roof = 27 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 2 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 45° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 2 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 2 kgh = 1.5 mL = 2 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 1 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、18 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 13 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 150 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 40 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 2 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 2 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を求めよ。

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −2 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 45 °C のArが 310 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 310 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

500 kPa、90 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 500 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 750 °C の熱源から熱を受け取り、35 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 38% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 750 °CT_L = 35 °Cη = 38%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 5 °C の熱源から熱をくみ上げ、45 °C の暖房システムに 18.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 35% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 45 °CT_L = 5 °Cη_II = 35%Q̇_H = 18.5 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 30 cm の薄い発散レンズの 12 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 12 cmf = −30 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、1 ミリメートルあたり 100 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 3 の極大の角度 θ₃ を求めてください。

N = 100 mm⁻¹λ = 589 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 128.6 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·3) = 128.6 m

答え

s = 128.6 m

2.運動学

答え: h_max = 46.47 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

地面からの高さ

h_max = 35 + 11.47 = 46.47 m

答え

h_max = 46.47 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.627 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答え

a = 5.627 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.094 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 6.131)/6.5 = 5.094 m/s²

答え

a = 5.094 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 28.88 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·85/sin 90°) = 28.88 m/s

答え

v₀ = 28.88 m/s

6.放物運動

答え: x = 46.51 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 10.26 m/s, v_y = 28.19 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

27 = 28.19·t − 4.905·t²

t = (28.19 + √(28.19² − 2·9.81·27))/9.81 = 4.533 s

水平距離

x = v_x·t = 10.26·4.533 = 46.51 m

答え

x = 46.51 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 15.56 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 45°) = 11.49 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·11.49/2 = 15.56 N

答え

T = 15.56 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 15.56 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 4.646 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(1.5 − 0.2·2) = 21.58 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.1) = 4.646 m/s

答え

v = 4.646 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 12 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1 − 0.5)/(1 + 0.5)·9 = 3 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 0.5)·9 = 12 m/s

答え

v′₂ = 12 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 10.85 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(18 + 13) = 10.85 N·s

答え

J = 10.85 N·s

11.静水圧

答え: F = 257.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·5 = 257.5 kN

答え

F = 257.5 kN

12.静水圧

答え: F = 120.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·6 = 120.7 kN

答え

F = 120.7 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 148.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/75)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−1.875) = 148.1 kPa

答え

p₂ = 148.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 7.872 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·2) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·6.264 = 0.007872 m³/s = 7.872 L/s

答え

Q = 7.872 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2053 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 310/39.95 = 7.76 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

圧力

P = nRT/V = 7.76·8.314·318.1/0.01 = 2053 kPa

答え

P = 2053 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.656 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

密度

ρ = 500·16.04/(8.314·363.1) = 2.656 kg/m³

答え

ρ = 2.656 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 54.38 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 308.1/1023 = 69.88 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 38/69.88 = 54.38 %

答え

η_II = 54.38 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 6.646 kW

絶対温度

T_H = 45 + 273.15 = 318.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 318.1/(318.1 − 278.1) = 7.954

COP = 0.35·7.954 = 2.784

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 18.5/2.784 = 6.646 kW

答え

Ẇ = 6.646 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = −8.571 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/12

d_i = −8.571 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −8.571 cm

20.波・音・光学

答え: θ₃ = 10.18 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 3·589 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.1767

θ = 10.18°

答え

θ₃ = 10.18°

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