基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.8 s で、その後、自動車は一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 90 km/ht_r = 0.8 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 9 s 加速し、次に 21 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 21 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg と 3 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 100 N が前の 9 kg のブロックを引き、11 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 11 kgm₂ = 9 kgF = 100 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 40 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。停止距離 d を求めよ。

v = 40 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 1 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 24 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 3 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1200 kg の自動車が、駐車中の質量 1900 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 17.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1900 kgd = 17.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 8 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 8 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 130 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 130 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

200 kPa、60 °C において、CH₄ 170 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 170 gM = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

650 kPa、50 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 10 kW の熱を取り除いて冷蔵室を 0 °C に保ち、28 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = 0 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 10 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 850 °C の熱源から 3700 kJ の熱を受け取り、2220 kJ の仕事をして、残りを 10 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 850 °CT_L = 10 °CQ_H = 3700 kJW = 2220 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 80 dB になります。同一の機械 5 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 80 dBn = 5

β = dB

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、15 m/s で近づいてくる車に向けて 20 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 89.44 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 25·0.8 = 20 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4.5) = 69.44 m

合計

d = 20 + 69.44 = 89.44 m

答え

d = 89.44 m

2.運動学

答え: t = 41.25 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·9 = 22.5 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 22.5/2 = 11.25 s

合計時間

t = 9 + 21 + 11.25 = 41.25 s

答え

t = 41.25 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (6 − 3)·9.81/(6 + 3) = 3.27 m/s²

答え

a = 3.27 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 55 N

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 39.24)/20 = 3.038 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(3.038 + 1.962) = 55 N

答え

T = 55 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: x = 11.24 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 65° = 5.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 65° = 10.88 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·10.88/9.81 = 2.217 s

水平距離

x = v_x·t = 5.071·2.217 = 11.24 m

答え

x = 11.24 m

6.放物運動

答え: t = 2.031 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 30° = 12.99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 30° = 7.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 7.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.5 + √(56.25 + 98.1))/9.81 = 2.031 s

答え

t = 2.031 s

7.仕事とエネルギー

答え: d = 12.58 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.5·9.81) = 12.58 m

答え

d = 12.58 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: x = 27.68 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(1 − 0.25·1.5) = 30.66 J

最大縮み

½kx² = 30.66 → x = √(2·30.66/800) = 0.2768 m = 27.68 cm

答え

x = 27.68 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 1304 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 3)·2.17/0.005 = 1304 m/s

答え

v = 1304 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 33.85 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·17.5) = 13.1 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·13.1/1200 = 33.85 m/s

答え

v₁ = 33.85 m/s

(121.9 km/h)

11.静水圧

答え: F = 55.18 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·1.5 = 55.18 kN

答え

F = 55.18 kN

12.静水圧

答え: F = 207.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4·6 = 207.2 kN

答え

F = 207.2 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 4 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·8000/1000) = 4 m/s

答え

v = 4 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 76.38 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(150/100)² = 3.375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 3.375²)/1000 = −4.57 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 130 + (−4.57) − 49.05 = 76.38 kPa

答え

p₂ = 76.38 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 146.8 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 170/16.04 = 10.6 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体積

V = nRT/P = 10.6·8.314·333.1/200 = 146.8 L

答え

V = 146.8 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 10.65 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 650·44.01/(8.314·323.1) = 10.65 kg/m³

答え

ρ = 10.65 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 11.03 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 10·301.1/273.1 = 11.03 kW

答え

Q̇_H = 11.03 kW

入力動力：Ẇ = 1.025 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.933 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 3700 − 2220 = 1480 kJ

絶対温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −3700/1123 = −3.294 kJ/K

ΔS_L = 1480/283.1 = 5.227 kJ/K

S_gen = 5.227 − 3.294 = 1.933 kJ/K

答え

S_gen = 1.933 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: β = 86.99 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 5·I₁

レベル

β = 80 + 10·log₁₀(5) = 86.99 dB

答え

β = 86.99 dB

20.波・音・光学

答え: f″ = 21829 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 20000·(343 + 15)/343 = 20875 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 15) = 21829 Hz

答え

f″ = 21829 Hz

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