基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 250 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 2200 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 250 km/hs = 2200 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 35° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 18 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 35°μ = 0.15d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 3.5 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1900 kg の自動車が、駐車中の質量 1900 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 9 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.75 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1900 kgd = 9 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 1400 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。

p₀ − p = 1400 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 25 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 120 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 120 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 35 °C のN₂が 40 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 40 gM = 28.01 g/molV = 30 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

450 kPa、170 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 450 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 225 °C の高温熱源と 40 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 225 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、25 °C のキッチンで冷蔵室を 4 °C に保ち、冷蔵室から 1.5 kW の熱を取り除く。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 25 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 1.5 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

光がフリントガラス（n = 1.62）の中を、グリセリン（n = 1.47）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.62n₂ = 1.47

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 15 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 10 cm、レンズ 2 は f₂ = −20 cm です。物体はレンズ 1 の 15 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 10 cmf₂ = −20 cms = 15 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.096 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·2200) = 1.096 m/s²

答え

a = 1.096 m/s²

2.運動学

答え: h_max = 12.34 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

地面からの高さ

h_max = 5 + 7.339 = 12.34 m

答え

h_max = 12.34 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答え

a = 4.051 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 34.78 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 14.71)/11 = 4.013 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·4.013 + 14.71 = 34.78 N

答え

T = 34.78 N

5.放物運動

答え: H = 17.17 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18.35 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 18.35²/(2·9.81) = 17.17 m

答え

H = 17.17 m

6.放物運動

答え: t = 2.148 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8.208 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 8.208·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.208 + √(67.38 + 98.1))/9.81 = 2.148 s

答え

t = 2.148 s

7.仕事とエネルギー

答え: v = 12.62 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.5736 − 0.15·0.8192)) = 12.62 m/s

答え

v = 12.62 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 24.16 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(3.5 − 0.15·3.5) = 116.7 J

最大縮み

½kx² = 116.7 → x = √(2·116.7/4000) = 0.2416 m = 24.16 cm

答え

x = 24.16 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 2.545 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 1)/(4.5 + 1)·4 = 2.545 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1)·4 = 6.545 m/s

答え

v′₁ = 2.545 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 23.02 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·9) = 11.51 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3800·11.51/1900 = 23.02 m/s

答え

v₁ = 23.02 m/s

(82.86 km/h)

11.静水圧

答え: F = 264.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·6 = 264.9 kN

答え

F = 264.9 kN

12.静水圧

答え: F = 103.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·3.75 = 103.7 kN

答え

F = 103.7 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 48.3 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1400/1.2) = 48.3 m/s

答え

v = 48.3 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 70.76 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−10) − 39.24 = 70.76 kPa

答え

p₂ = 70.76 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 122 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 40/28.01 = 1.428 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

圧力

P = nRT/V = 1.428·8.314·308.1/0.03 = 122 kPa

答え

P = 122 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.908 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 450·32/(8.314·443.1) = 3.908 kg/m³

答え

ρ = 3.908 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 37.14 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/498.1 = 37.14 %

答え

η_max = 37.14 %

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 13.2

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(298.1 − 277.1) = 13.2

答え

COP_max = 13.2

19.波・音・光学

答え: θ_c = 65.15 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/1.62 = 0.9074

臨界角

θc = arcsin(0.9074) = 65.15°

答え

θ_c = 65.15°

20.波・音・光学

答え: d_i2 = 60 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/10 − 1/15 → d_i1 = 30 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 15 − 30 = −15 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−15) → d_i2 = 60 cm

答え

d_i2 = 60 cm

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