基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1 s の間、一定の上向きの加速度 24 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち上げから地面に落ちるまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

a = 24 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、35° の斜面を速さ 8.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 8.5 m/sθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 65° 上向きに打ち出すと、50 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 65°R = 50 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 35 m の崖の上から水平から 15° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 14 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、2 m/s で動く質量 1 kg のグライダーが、静止している質量 3.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.2 kg のボールが 15 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.2 kgv_in = 15 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 200 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 270 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 270 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

100 kPa、80 °C において、Ar 420 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 420 gM = 39.95 g/molP = 100 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

350 kPa、180 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 350 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 800 °C の熱源から 4500 kJ の熱を受け取り、1208 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 800 °CQ_H = 4500 kJQ_L = 1208 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが -10 °C の熱源から熱をくみ上げ、35 °C の暖房システムに 9 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 45% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 35 °CT_L = -10 °Cη_II = 45%Q̇_H = 9 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 600 Hz の音源に向かって 5 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、10 m/s で近づいてくる車に向けて 20 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 2.222 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/7.5 = 2.222 s

答え

t = 2.222 s

2.運動学

答え: t = 6.35 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

動力飛行段階

v₁ = 24·1 = 24 m/s

h₁ = ½·24·1² = 12 m

地面までの自由飛行

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² を正の解について解きます。

t₂ = (24 + √(24² + 2·9.81·12))/9.81 = 5.35 s

t = 1 + 5.35 = 6.35 s

答え

t = 6.35 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答え

a = 4.051 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 4.495 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 35° + 0.3·cos 35°) = 8.038 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·8.038) = 4.495 m

答え

d = 4.495 m

5.放物運動

答え: v₀ = 25.3 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·50/sin 130°) = 25.3 m/s

答え

v₀ = 25.3 m/s

6.放物運動

答え: t = 3.157 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 15° = 16.42 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 15° = 4.4 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 35 + 4.4·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.4 + √(19.36 + 686.7))/9.81 = 3.157 s

答え

t = 3.157 s

7.仕事とエネルギー

答え: v = 8.874 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 8.874 m/s

答え

v = 8.874 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 28.88 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(1 − 0.15·1) = 83.39 J

最大縮み

½kx² = 83.39 → x = √(2·83.39/2000) = 0.2888 m = 28.88 cm

答え

x = 28.88 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −1.111 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1 − 3.5)/(1 + 3.5)·2 = −1.111 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3.5)·2 = 0.8889 m/s

答え

v′₁ = −1.111 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 248 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.2·(16 + 15) = 6.2 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 6.2/0.025 = 248 N

答え

F_avg = 248 N

11.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

12.静水圧

答え: F = 134.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·5 = 134.9 kN

答え

F = 134.9 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 181 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/40)² = 6.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 6.25²)/1000 = −19.03 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−19.03) = 181 kPa

答え

p₂ = 181 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 190.1 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/40)² = 1.758 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.758²)/1000 = −1.42 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−1.42) − 78.48 = 190.1 kPa

答え

p₂ = 190.1 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 308.7 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 420/39.95 = 10.51 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

体積

V = nRT/P = 10.51·8.314·353.1/100 = 308.7 L

答え

V = 308.7 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.602 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 350·28.01/(8.314·453.1) = 2.602 kg/m³

答え

ρ = 2.602 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 14.93 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1073·1208/4500 = 288.1 K = 14.93 °C

答え

T_L = 14.93 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 2.921 kW

絶対温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 263.1) = 6.848

COP = 0.45·6.848 = 3.081

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 9/3.081 = 2.921 kW

答え

Ẇ = 2.921 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 608.7 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 608.7 Hz

答え

f′ = 608.7 Hz

20.波・音・光学

答え: f″ = 21201 Hz

車での振動数

f′ = 20000·(343 + 10)/343 = 20583 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 10) = 21201 Hz

答え

f″ = 21201 Hz

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