基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
t (s)v (m/s)t = ?25

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −4.5 m/s²v = 0
t = s
2.運動学むずかしい
d = ?

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 2.7 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

ttotal = 2.7 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.ニュートンの法則ふつう
θ = 35°a = ?m = 4 kg

質量 4 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.ニュートンの法則むずかしい
m1​ = 2 kg4.5 kgμ = 0.25

水平な机の上にある質量 2 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。 ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。 全体の加速度 a を求めよ。

m1 = 2 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.放物運動ふつう
v0​ = ?20°R = 150 m

水平な地面からボールを水平から 20° 上向きに打ち出すと、150 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v0 を求めよ。

θ = 20°R = 150 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.放物運動むずかしい
h = 60 mv0​ = 35 m/s20°到達距離

ボールを 高さ 60 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v0 = 35 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.仕事とエネルギーふつう
60°L = 0.8 m0.5 kg

質量 0.5 kg の小球が長さ 0.8 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 60° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 0.8 mθ = 60°g = 9.81 m/s²
T = N
8.仕事とエネルギーむずかしい
h = 7.5 mR = 2.5 mv = ?

質量 10 kg の台車が、半径 2.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 7.5 m から静かに放される。 ループの最高点での台車の速さ v を求めよ。

m = 10 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.運動量と衝突ふつう
2.5 kg12 m/s0.5 kg

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。 衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′1 を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m1 = 2.5 kgm2 = 0.5 kgv1 = 12 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.運動量と衝突むずかしい
11 m/s5 m/s

質量 0.2 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、5 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。 壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.2 kgvin = 11 m/svout = 5 m/sΔt = 10 ms
J = N·s
11.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 1.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 3 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.連続の式とベルヌーイふつう
d1​ = 200 mmd2​ = 100 mm12p1​ − p2​ = 21 kPaQ = ?

入口径 200 mm、のど部径 100 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 21 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 21 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
14.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 360 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 7 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 360 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 360 kPav1 = 3 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想気体の状態方程式ふつう
430 g のN₂V = 20 LT = 35 °CP = ?

容積 20 L のタンクに、温度 35 °C のN₂が 430 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 430 gM = 28.01 g/molV = 20 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想気体の状態方程式むずかしい
O₂, M = 32 g/molP = 150 kPaT = 30 °Cρ = ?

150 kPa、30 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 150 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 300 °CTL​ = 30 °CEQH​QL​η = 31%

熱機関が 300 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 31% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 300 °CTL = 30 °Cη = 31%
ηII = %
18.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 700 °CTL​ = 20 °CEQH​ = 2700 kJQL​ = 1755 kJW = 945 kJ

熱機関が 1 サイクルあたり 700 °C の熱源から 2700 kJ の熱を受け取り、945 kJ の仕事をして、残りを 20 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 Sgen を求めよ。

TH = 700 °CTL = 20 °CQH = 2700 kJW = 945 kJ
Sgen = kJ/K
19.波・音・光学ふつう
L = 0.65 mn = 1

両端が固定された弦 の長さは 0.65 m で、その上を波が 300 m/s で伝わります。その 基本振動（第 1 倍音） の振動数 f1 を求めてください。

v = 300 m/sn = 1L = 0.65 m
f1 = Hz
20.波・音・光学むずかしい
λ = ?d = 0.2 mmL = 2 m15 mm

0.2 mm 離れた 2 本のスリットに単色光を当てます。2 m 先のスクリーンで、3 番目の明線は中央の縞から 15 mm の位置にあります。波長 λ を求めてください。

d = 0.2 mmL = 2 my3 = 15 mmm = 3
λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: t = 5.556 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/4.5 = 5.556 s

答え

t = 5.556 s
2.運動学

答え: d = 33.24 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.7 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 926.1 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·926.1))/(2·4.905) = 2.603 s

深さ

d = ½·9.81·2.603² = 33.24 m

答え

d = 33.24 m
3.ニュートンの法則

答え: a = 4.02 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²

答え

a = 4.02 m/s²
4.ニュートンの法則

答え: a = 6.037 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 4.905)/6.5 = 6.037 m/s²

答え

a = 6.037 m/s²
5.放物運動

答え: v0 = 47.85 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·150/sin 40°) = 47.85 m/s

答え

v0 = 47.85 m/s
6.放物運動

答え: t = 4.925 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 35·cos 20° = 32.89 m/s
vy = v0·sin θ = 35·sin 20° = 11.97 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 11.97·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (11.97 + √(143.3 + 1177))/9.81 = 4.925 s

答え

t = 4.925 s
7.仕事とエネルギー

答え: T = 9.81 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。 円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 60°) = 7.848 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·7.848/0.8 = 9.81 N

答え

T = 9.81 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 9.81 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 7.004 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。 円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.5 − 5) = 49.05 m²/s²
v = 7.004 m/s

答え

v = 7.004 m/s

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v′1 = 8 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′1 = (2.5 − 0.5)/(2.5 + 0.5)·12 = 8 m/s
v′2 = 2·2.5/(2.5 + 0.5)·12 = 20 m/s

答え

v′1 = 8 m/s
10.運動量と衝突

答え: J = 3.2 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.2·(5 + 11) = 3.2 N·s

答え

J = 3.2 N·s
11.静水圧

答え: F = 60.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
ゲートd = 2 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答え

F = 60.7 kN
12.静水圧

答え: F = 116.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
ゲートd = 3 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·4.5·3 = 116.5 kN

答え

F = 116.5 kN
13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 52.57 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v1 = v2·(100/200)² = 0.25·v2

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·21000/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.693 m/s
v1 = 1.673 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.007854·6.693 = 0.05257 m³/s = 52.57 L/s

答え

Q = 52.57 L/s
14.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 223.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/75)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 360 + (−67.5) − 68.67 = 223.8 kPa

答え

p2 = 223.8 kPa
15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1967 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 430/28.01 = 15.35 mol
T = 35 + 273.15 = 308.1 K

圧力

P = nRT/V = 15.35·8.314·308.1/0.02 = 1967 kPa

答え

P = 1967 kPa
16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.904 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 150·32/(8.314·303.1) = 1.904 kg/m³

答え

ρ = 1.904 kg/m³
17.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 65.81 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 300 + 273.15 = 573.1 K
TL = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 303.1/573.1 = 47.11 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 31/47.11 = 65.81 %

答え

ηII = 65.81 %
18.熱機関と冷凍機

答え: Sgen = 3.212 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は QH/TH を失い、低温熱源は QL/TL を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

QL = QH − W = 2700 − 945 = 1755 kJ

絶対温度

TH = 700 + 273.15 = 973.1 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔSH = −2700/973.1 = −2.774 kJ/K
ΔSL = 1755/293.1 = 5.987 kJ/K
Sgen = 5.987 − 2.774 = 3.212 kJ/K

答え

Sgen = 3.212 kJ/K

Sgen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: f1 = 230.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.65/1 = 1.3 m

振動数

f = v/λ = 300/1.3 = 230.8 Hz

答え

f1 = 230.8 Hz
20.波・音・光学

答え: λ = 500 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = y·d/(mL) = 0.015·0.0002/(3·2) = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm

答え

λ = 500 nm

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