基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 4 s 加速し、次に 28 s 等速で走り、最後に 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 28 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 5.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 10 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 10 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 75° 上向きに打ち出すと、80 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 75°R = 80 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 10 m の崖の上から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 35° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。斜面に沿って 11 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 35°μ = 0.35d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

30° の斜面の下端にあるばね定数 500 N/m のばねを、質量 2 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 2 kgk = 500 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

水平に 5 m/s で動いている質量 12 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 2 kg の破片は前向きに 35 m/s で進み続ける。質量 10 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 12 kgu = 5 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 35 m/sm₂ = 10 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 17 m/s で壁に当たり、13 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 17 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 110 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 110 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 50 mm に細くなりながら 2 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 130 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 130 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

300 kPa、65 °C において、O₂ 120 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 120 gM = 32 g/molP = 300 kPaT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のN₂が 350 kPa、5 L、30 °C から 100 kPa、150 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 4 kW の熱を取り除いて冷蔵室を 4 °C に保ち、30 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = 4 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 4 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 2 °C の熱源から熱をくみ上げ、22 °C の暖房システムに 13.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 40% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 2 °Cη_II = 40%Q̇_H = 13.5 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

小さなスピーカーが、あらゆる方向に均等に 0.5 W の音のパワーを放射します。3 m の距離での音の強さのレベル β を求めてください。

P = 0.5 Wr = 3 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、25 m/s で近づいてくる車に向けて 25 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 13.78 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7) = 13.78 m

答え

s = 13.78 m

2.運動学

答え: s = 312.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·4 = 10 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·4² = 20 m

s₂ = 10·28 = 280 m

s₃ = 10²/(2·4) = 12.5 m

全距離

s = 20 + 280 + 12.5 = 312.5 m

答え

s = 312.5 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.781 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答え

a = 2.781 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.542 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 22.8 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.89 N

系の加速度

a = (98.1 − 22.8 − 4.89)/15.5 = 4.542 m/s²

答え

a = 4.542 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 39.62 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·80/sin 150°) = 39.62 m/s

答え

v₀ = 39.62 m/s

6.放物運動

答え: t = 4.23 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 50° = 15.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 50° = 18.39 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 10 + 18.39·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.39 + √(338 + 196.2))/9.81 = 4.23 s

答え

t = 4.23 s

7.仕事とエネルギー

答え: v = 7.868 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.5736 − 0.35·0.8192)) = 7.868 m/s

答え

v = 7.868 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: d = 0.4259 m

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·500·0.15² = 5.625 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5.625/(19.62·(0.5 + 0.2·0.866)) = 0.4259 m

答え

d = 0.4259 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = −1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 12·5 = 60 kg·m/s

衝突後の運動量

60 = 2·35 + 10·v′₂

v′₂ = (60 − 70)/10 = −1 m/s

答え

v′₂ = −1 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 210 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(13 + 17) = 10.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 10.5/0.05 = 210 N

答え

F_avg = 210 N

11.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

12.静水圧

答え: F = 125.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.25·4.5 = 125.2 kN

答え

F = 125.2 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 47.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(150/50)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−62.5) = 47.5 kPa

答え

p₂ = 47.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 87.88 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 130 + (−22.5) − 19.62 = 87.88 kPa

答え

p₂ = 87.88 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 35.14 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 120/32 = 3.75 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

体積

V = nRT/P = 3.75·8.314·338.1/300 = 35.14 L

答え

V = 35.14 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 24.43 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 423.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/100)·(423.1/303.1) = 24.43 L

答え

V₂ = 24.43 L

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 4.375 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 4·303.1/277.1 = 4.375 kW

答え

Q̇_H = 4.375 kW

入力動力：Ẇ = 0.3752 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 2.287 kW

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 275.1) = 14.76

COP = 0.4·14.76 = 5.903

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 13.5/5.903 = 2.287 kW

答え

Ẇ = 2.287 kW

19.波・音・光学

答え: β = 96.46 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さ

I = P/(4πr²) = 0.004421 W/m²

レベル

β = 10·log₁₀(0.004421/10⁻¹²) = 96.46 dB

答え

β = 96.46 dB

20.波・音・光学

答え: f_b = 3931 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 25000·(343 + 25)/343 = 26822 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 25) = 28931 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 3931 Hz

答え

f_b = 3931 Hz

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