基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 1.5 m/s² で一様に加速する。600 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1.5 s の間、一定の上向きの加速度 36 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち上げから地面に落ちるまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

a = 36 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s で打ち出し、100 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 38 m/sR = 100 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 32 m/s、水平から 45° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 9 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 45°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 13 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.35d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.1）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 6 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 1.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.1d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 19 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 3 kgh = 19 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 9 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 9 m/sv_out = 14 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 6 L/s で、80 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 120 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 6 L/sd₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₂ = 120 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 25 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 4.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 25 mmz_C = +0.5 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

350 kPa、40 °C において、N₂ 20 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 20 gM = 28.01 g/molP = 350 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

300 kPa、60 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 300 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 300 °C の熱源から 3900 kJ の熱を受け取り、2029 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 300 °CQ_H = 3900 kJQ_L = 2029 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、25 °C のキッチンで冷蔵室を -18 °C に保ち、冷蔵室から 4.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 25 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 4.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 800 Hz の音源に向かって 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 800 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、20 m/s で近づいてくる車に向けて 40 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: v = 42.43 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·1.5·600) = 42.43 m/s

答え

v = 42.43 m/s

(152.7 km/h)

2.運動学

答え: t = 13.21 s

動力飛行段階

v₁ = 36·1.5 = 54 m/s

h₁ = ½·36·1.5² = 40.5 m

地面までの自由飛行

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² を正の解について解きます。

t₂ = (54 + √(54² + 2·9.81·40.5))/9.81 = 11.71 s

t = 1.5 + 11.71 = 13.21 s

答え

t = 13.21 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.427 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答え

a = 4.427 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.335 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 2.943)/5 = 3.335 m/s²

答え

a = 3.335 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 21.4 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·100/38² = 0.6794

位相角

2θ = 42.79° → θ = 21.4°

答え

θ = 21.4°

もう 1 つの解は 90° − θ = 68.6° です。

6.放物運動

答え: x = 94.44 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 22.63 m/s, v_y = 22.63 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

9 = 22.63·t − 4.905·t²

t = (22.63 + √(22.63² − 2·9.81·9))/9.81 = 4.173 s

水平距離

x = v_x·t = 22.63·4.173 = 94.44 m

答え

x = 94.44 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 341.9 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.35·75.15 = 26.3 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 26.3·13 = 341.9 J

答え

W_f = 341.9 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 4.06 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 58.86·1.5 = 88.29 J

μ·m₁g·d = 0.1·39.24·1.5 = 5.886 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 82.4 → v = √(2·82.4/10) = 4.06 m/s

答え

v = 4.06 m/s

9.運動量と衝突

答え: v = 1160 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.19) = 1.931 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 3)·1.931/0.005 = 1160 m/s

答え

v = 1160 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 9.2 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(14 + 9) = 9.2 N·s

答え

J = 9.2 N·s

11.静水圧

答え: F = 98.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·4 = 98.1 kN

答え

F = 98.1 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.789 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.75·2.25 = 107.5 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.4219/(4.75·2.25) = 4.789 m

答え

y_cp = 4.789 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 130.7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.006/0.005027 = 1.194 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.006/0.001257 = 4.775 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 120 + ½·1000·(4.775² − 1.194²)/1000 = 120 + 10.69 = 130.7 kPa

答え

p₁ = 130.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 52.25 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa

答え

p_C = 52.25 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 5.311 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 20/28.01 = 0.714 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

体積

V = nRT/P = 0.714·8.314·313.1/350 = 5.311 L

答え

V = 5.311 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.466 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 300·32/(8.314·333.1) = 3.466 kg/m³

答え

ρ = 3.466 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 25.03 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 573.1·2029/3900 = 298.2 K = 25.03 °C

答え

T_L = 25.03 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.7584 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(298.1 − 255.1) = 5.934

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4.5/5.934 = 0.7584 kW

答え

Ẇ_min = 0.7584 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 846.6 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 800·(343 + 20)/(343 − 0)

f′ = 846.6 Hz

答え

f′ = 846.6 Hz

20.波・音・光学

答え: f_b = 4954 Hz

車での振動数

f′ = 40000·(343 + 20)/343 = 42332 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 20) = 44954 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 4954 Hz

答え

f_b = 4954 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers