基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 16 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 16 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 9 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 0.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 9 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 10 m のがけの上から、ボールを 14 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 800 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.5 kg のボールをその上に置き、ばねを 5 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.5 kgk = 800 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 4 kgh = 2 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 1 kg のグライダーが、静止している質量 2 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 11 m/s で走る質量 1800 kg の自動車が、北向きに 21 m/s で走る質量 1100 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1800 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、200 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 300 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 30 kPa の圧縮空気がある。水面より 4 m 下にある直径 20 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 30 kPa (ゲージ圧)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

350 kPa、95 °C において、CH₄ 490 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 490 gM = 16.04 g/molP = 350 kPaT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

850 kPa、140 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 850 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 0.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を 0 °C に保ち、40 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = 0 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 0.5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を -20 °C に保ち、冷蔵室から 3.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 3.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 30 cm の薄い発散レンズの 15 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 15 cmf = −30 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

波長 486 nm の光が、1 ミリメートルあたり 1200 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 1200 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 37.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37.5 m

答え

s = 37.5 m

2.運動学

答え: t = 4.593 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−30 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 30 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.593 s

答え

t = 4.593 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.554 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答え

a = 5.554 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 4.647 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 0)/9.5 = 0.5163 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0.5163 + 0 = 4.647 N

答え

T = 4.647 N

5.放物運動

答え: H = 11.47 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

答え

H = 11.47 m

6.放物運動

答え: H = 16.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 14·sin 55° = 11.47 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 11.47²/(2·9.81) = 6.703 m

地面からの高さ

H = 10 + 6.703 = 16.7 m

答え

H = 16.7 m

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.2039 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·800·0.05² = 1 J

高さ

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 1/4.905 = 0.2039 m

答え

h = 0.2039 m

8.仕事とエネルギー

答え: v = 5.099 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.15·4.5) = 51.99 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.325) = 5.099 m/s

答え

v = 5.099 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −3 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1 − 2)/(1 + 2)·9 = −3 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 2)·9 = 6 m/s

答え

v′₁ = −3 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: v′ = 10.49 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1800·11 = 19800 kg·m/s

p_y = 1100·21 = 23100 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 30424/2900 = 10.49 m/s

答え

v′ = 10.49 m/s

11.静水圧

答え: F = 9.81 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1 = 9.81 kN

答え

F = 9.81 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.75·3 = 97.12 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.5625/(3.75·3) = 3.8 m

答え

y_cp = 3.8 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 283.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(200/100)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−16.88) = 283.1 kPa

答え

p₂ = 283.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 11.77 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(30000/1000 + 9.81·4)) = 11.77 m/s

答え

v = 11.77 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 267.2 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 490/16.04 = 30.55 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

体積

V = nRT/P = 30.55·8.314·368.1/350 = 267.2 L

答え

V = 267.2 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.9906 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

密度

ρ = 850·4.003/(8.314·413.1) = 0.9906 kg/m³

答え

ρ = 0.9906 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 0.5732 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 0.5·313.1/273.1 = 0.5732 kW

答え

Q̇_H = 0.5732 kW

入力動力：Ẇ = 0.07322 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.7189 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(305.1 − 253.1) = 4.868

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3.5/4.868 = 0.7189 kW

答え

Ẇ_min = 0.7189 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = −10 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/15

d_i = −10 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −10 cm

20.波・音・光学

答え: θ₁ = 35.68 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.5832

θ = 35.68°

答え

θ₁ = 35.68°

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