基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 1.5 m/s² で一様に加速する。1900 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 1900 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5.5 kg と 4.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 7.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 18 m/s で打ち出し、30 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 18 m/sR = 30 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 33 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 18 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 33 m/sθ = 70°h_roof = 18 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg の小球が長さ 2 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 60° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 5 kgL = 2 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 20 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 23 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 5 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 24 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 24 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 330 kPa、流速は 2.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 330 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 300 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

350 kPa、0 °C において、CO₂ 360 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 360 gM = 44.01 g/molP = 350 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

700 kPa、100 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 700 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 650 °C の熱源から熱を受け取り、35 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 27% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 650 °CT_L = 35 °Cη = 27%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、25 °C のキッチンで冷蔵室を -18 °C に保ち、冷蔵室から 5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 25 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 300 Hz の音源から遠ざかるように 15 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、10 m/s で遠ざかる車に向けて 20 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: v = 75.5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·1.5·1900) = 75.5 m/s

答え

v = 75.5 m/s

(271.8 km/h)

2.運動学

答え: t = 3.135 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.135 s

答え

t = 3.135 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 0.981 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (5.5 − 4.5)·9.81/(5.5 + 4.5) = 0.981 m/s²

答え

a = 0.981 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.121 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/11 = 3.121 m/s²

答え

a = 3.121 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 32.64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·30/18² = 0.9083

位相角

2θ = 65.28° → θ = 32.64°

答え

θ = 32.64°

もう 1 つの解は 90° − θ = 57.36° です。

6.放物運動

答え: x = 64.06 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 11.29 m/s, v_y = 31.01 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

18 = 31.01·t − 4.905·t²

t = (31.01 + √(31.01² − 2·9.81·18))/9.81 = 5.676 s

水平距離

x = v_x·t = 11.29·5.676 = 64.06 m

答え

x = 64.06 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 98.1 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 60°) = 19.62 m²/s²

最下点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·19.62/2 = 98.1 N

答え

T = 98.1 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 98.1 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 8.914 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(4.5 − 0.15·3) = 198.7 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.05) = 8.914 m/s

答え

v = 8.914 m/s

9.運動量と衝突

答え: v = 533.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 5)·2.124/0.02 = 533.2 m/s

答え

v = 533.2 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 2800 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(16 + 24) = 14 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 14/0.005 = 2800 N

答え

F_avg = 2800 N

11.静水圧

答え: F = 165.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

答え

F = 165.5 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.595 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·6 = 259.6 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 2/(3.5·6) = 3.595 m

答え

y_cp = 3.595 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 292 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 330 + (−37.97) = 292 kPa

答え

p₂ = 292 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 243.4 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−7.5) − 49.05 = 243.4 kPa

答え

p₂ = 243.4 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 53.08 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 360/44.01 = 8.18 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

体積

V = nRT/P = 8.18·8.314·273.1/350 = 53.08 L

答え

V = 53.08 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.93 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

密度

ρ = 700·44.01/(8.314·373.1) = 9.93 kg/m³

答え

ρ = 9.93 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 40.53 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 308.1/923.1 = 66.62 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 27/66.62 = 40.53 %

答え

η_II = 40.53 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.8426 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(298.1 − 255.1) = 5.934

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/5.934 = 0.8426 kW

答え

Ẇ_min = 0.8426 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 286.9 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 15)/(343 + 0)

f′ = 286.9 Hz

答え

f′ = 286.9 Hz

20.波・音・光学

答え: f_b = 1133 Hz

車での振動数

f′ = 20000·(343 − 10)/343 = 19417 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 10) = 18867 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 1133 Hz

答え

f_b = 1133 Hz

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