基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 14 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 14 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 7 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 50 N が前の 11 kg のブロックを引き、3 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 11 kgF = 50 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 24 m/s、水平から 20° 上向きに、30 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 24 m/sθ = 20°x = 30 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 40 m のがけの上から、ボールを 29 m/s、水平から 50° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 29 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。斜面に沿って 10 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 30°μ = 0.35d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 2 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 5 g の弾丸を、長さ 1.9 m の軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 35° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1 kgL = 1.9 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、200 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 280 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 280 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 50 kPa である。ノズル出口の直径は 25 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 75 mmp₁ = 50 kPa (ゲージ圧)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

800 kPa、100 °C において、CH₄ 130 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 130 gM = 16.04 g/molP = 800 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 200 kPa、2 L、25 °C から 600 kPa、250 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 25 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 8.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -10 °C に保ち、40 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -10 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 8.5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 650 °C の熱源から 1500 kJ の熱を受け取り、795 kJ の仕事をして、残りを 35 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 650 °CT_L = 35 °CQ_H = 1500 kJW = 795 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管は、第 3 倍音が 322 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 3f₃ = 322 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、5 m/s で近づいてくる車に向けて 25 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 7.407 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/4.5 = 7.407 s

答え

t = 7.407 s

2.運動学

答え: h_max = 29.99 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

地面からの高さ

h_max = 20 + 9.99 = 29.99 m

答え

h_max = 29.99 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.203 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答え

a = 5.203 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 10.71 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (50 − 20.6)/14 = 2.1 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(2.1 + 1.472) = 10.71 N

答え

T = 10.71 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: y = 2.24 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 24·cos 20° = 22.55 m/s

t = x/v_x = 30/22.55 = 1.33 s

その時刻での高さ

y = 8.208·1.33 − ½·9.81·1.33² = 2.24 m

答え

y = 2.24 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: H = 65.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 29·sin 50° = 22.22 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 22.22²/(2·9.81) = 25.15 m

地面からの高さ

H = 40 + 25.15 = 65.15 m

答え

H = 65.15 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 6.215 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.5 − 0.35·0.866)) = 6.215 m/s

答え

v = 6.215 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 22.42 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(2.5 − 0.1·4.5) = 50.28 J

最大縮み

½kx² = 50.28 → x = √(2·50.28/2000) = 0.2242 m = 22.42 cm

答え

x = 22.42 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.571 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 2)/(5 + 2)·6 = 2.571 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2)·6 = 8.571 m/s

答え

v′₂ = 8.571 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 521.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 35°) = 0.3436 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.3436) = 2.596 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.005·2.596/0.005 = 521.9 m/s

答え

v = 521.9 m/s

11.静水圧

答え: F = 157 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·4 = 157 kN

答え

F = 157 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.25 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3·4.5 = 116.5 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 3.375/(3·4.5) = 3.25 m

答え

y_cp = 3.25 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 275.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(200/100)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 3²)/1000 = −4.219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 280 + (−4.219) = 275.8 kPa

答え

p₂ = 275.8 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 5.161 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9877)) = 10.06 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 10.06²/(2·9.81) = 5.161 m

答え

H = 5.161 m

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 31.43 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 130/16.04 = 8.105 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体積

V = nRT/P = 8.105·8.314·373.1/800 = 31.43 L

答え

V = 31.43 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 1.17 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 523.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/600)·(523.1/298.1) = 1.17 L

答え

V₂ = 1.17 L

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 10.12 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 8.5·313.1/263.1 = 10.12 kW

答え

Q̇_H = 10.12 kW

入力動力：Ẇ = 1.615 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 0.663 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 1500 − 795 = 705 kJ

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −1500/923.1 = −1.625 kJ/K

ΔS_L = 705/308.1 = 2.288 kJ/K

S_gen = 2.288 − 1.625 = 0.663 kJ/K

答え

S_gen = 0.663 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: L = 0.7989 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/322 = 1.065 m

長さ

L = nλ/4 = 3·1.065/4 = 0.7989 m

答え

L = 0.7989 m

20.波・音・光学

答え: f″ = 25740 Hz

車での振動数

f′ = 25000·(343 + 5)/343 = 25364 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 5) = 25740 Hz

答え

f″ = 25740 Hz

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