基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2.75 m/s² で一様に加速する。700 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 7 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 7 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 45 m のがけの上から、ボールを 21 m/s、水平から 20° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 21 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 19 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 25°μ = 0.3d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 1.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 5.3 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 5 kgh = 5.3 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 18 m/s で壁に当たり、18 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 18 m/sv_out = 18 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 1250 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。

p₀ − p = 1250 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 50 mm、ゲージ圧は 140 kPa である。ノズル出口の直径は 20 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 50 mmp₁ = 140 kPa (ゲージ圧)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 95 °C のArが 270 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 270 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

100 kPa、70 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 550 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4800 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 550 °CT_L = 35 °CQ_H = 4800 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を -18 °C に保ち、冷蔵室から 3.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 3.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 2 m の距離でのレベルは 90 dB です。吸収と反射を無視して、8 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 90 dBr₁ = 2 mr₂ = 8 m

β₂ = dB

20.波・音・光学むずかしい

波長 480 nm の光が、0.5 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1.2 m 先にあります。中央の明線から 2 番目の明線までの距離 y₂ を求めてください。

λ = 480 nmd = 0.5 mmL = 1.2 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.運動学

答え: v = 62.05 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·700) = 62.05 m/s

答え

v = 62.05 m/s

(223.4 km/h)

2.運動学

答え: t = 3.081 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.081 s

答え

t = 3.081 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.257 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答え

a = 3.257 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.4328 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 15.94)/8.5 = 0.4328 m/s²

答え

a = 0.4328 m/s²

5.放物運動

答え: H = 0.8586 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 20° = 11.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 20° = 4.104 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 4.104²/(2·9.81) = 0.8586 m

答え

H = 0.8586 m

6.放物運動

答え: H = 47.63 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 21·sin 20° = 7.182 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 7.182²/(2·9.81) = 2.629 m

地面からの高さ

H = 45 + 2.629 = 47.63 m

答え

H = 47.63 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 25.34 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9063 = 4.445 N

F = μN = 0.3·4.445 = 1.334 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.334·19 = 25.34 J

答え

W_f = 25.34 J

8.仕事とエネルギー

答え: N = 101.4 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.3 − 3) = 45.13 m²/s²

最高点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·45.13/1.5 − 49.05 = 101.4 N

答え

N = 101.4 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −9.333 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 4)/(0.5 + 4)·12 = −9.333 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 4)·12 = 2.667 m/s

答え

v′₁ = −9.333 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: J = 10.8 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(18 + 18) = 10.8 N·s

答え

J = 10.8 N·s

11.静水圧

答え: F = 235.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

答え

F = 235.4 kN

12.静水圧

答え: F = 136 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·4.5 = 136 kN

答え

F = 136 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 45.64 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1250/1.2) = 45.64 m/s

答え

v = 45.64 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 14.65 m

出口流速

β = 20/50 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0.9744)) = 16.95 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 16.95²/(2·9.81) = 14.65 m

答え

H = 14.65 m

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 689.5 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 270/39.95 = 6.758 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

圧力

P = nRT/V = 6.758·8.314·368.1/0.03 = 689.5 kPa

答え

P = 689.5 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.5622 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

密度

ρ = 100·16.04/(8.314·343.1) = 0.5622 kg/m³

答え

ρ = 0.5622 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 3003 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/823.1 = 62.56 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6256·4800 = 3003 kJ

答え

W_max = 3003 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.6859 kW

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(305.1 − 255.1) = 5.103

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3.5/5.103 = 0.6859 kW

答え

Ẇ_min = 0.6859 kW

19.波・音・光学

答え: β₂ = 77.96 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (2/8)² = 0.0625

新しいレベル

β₂ = 90 + 10·log₁₀(0.0625) = 77.96 dB

答え

β₂ = 77.96 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

20.波・音・光学

答え: y₂ = 2.304 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1.2/(0.5 × 10⁻³) = 1.152 mm

2 番目の縞

y₂ = 2·1.152 = 2.304 mm

答え

y₂ = 2.304 mm

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