基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg のそりを、水平から 15° 上向きのロープで、170 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgF = 170 Nθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 10 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 30 m のがけの上から、ボールを 10 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 10 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。斜面に沿って 8 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.2d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 0.8 m の軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 35° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 1.5 kgL = 0.8 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 270 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 270 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 60 kPa の圧縮空気がある。水面より 3.5 m 下にある直径 25 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 60 kPa (ゲージ圧)h = 3.5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

150 kPa、85 °C において、CO₂ 310 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 310 gM = 44.01 g/molP = 150 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 150 kPa、10 L、40 °C から 450 kPa、120 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 325 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 2800 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 325 °CT_L = 35 °CQ_H = 2800 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 750 °C の熱源から 50 kW の熱を受け取り、25 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -20 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 25 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 750 °CT₀ = 25 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 50 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

300 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 656 nm の光が、1 ミリメートルあたり 300 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 300 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 2.727 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/5.5 = 2.727 s

答え

t = 2.727 s

2.運動学

答え: t = 5.387 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·40))/9.81 = 5.387 s

答え

t = 5.387 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 7.449 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 170·sin 15° = 152.2 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 164.2 − 15.22

a = 149/20 = 7.449 m/s²

答え

a = 7.449 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 24.53)/14 = 1.051 m/s²

答え

a = 1.051 m/s²

5.放物運動

答え: x = 12.84 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 70° = 4.788 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 70° = 13.16 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·13.16/9.81 = 2.682 s

水平距離

x = v_x·t = 4.788·2.682 = 12.84 m

答え

x = 12.84 m

6.放物運動

答え: α = 77.37 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y0 = 10·sin 55° = 8.192 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(8.192² + 2·9.81·30) = 25.61 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 25.61/5.736 → α = 77.37°

答え

α = 77.37°

7.仕事とエネルギー

答え: v = 6.155 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 6.155 m/s

答え

v = 6.155 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 19.05 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.2·4) = 18.15 J

最大縮み

½kx² = 18.15 → x = √(2·18.15/1000) = 0.1905 m = 19.05 cm

答え

x = 19.05 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 18.33 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 0.5)/(2.5 + 0.5)·11 = 7.333 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 0.5)·11 = 18.33 m/s

答え

v′₂ = 18.33 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 128 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 35°) = 0.1447 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1447) = 1.685 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.52·1.685/0.02 = 128 m/s

答え

v = 128 m/s

11.静水圧

答え: F = 22.07 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1.5 = 22.07 kN

答え

F = 22.07 kN

12.静水圧

答え: F = 50.99 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.75·1.5 = 50.99 kN

答え

F = 50.99 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 266.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/40)² = 2.637 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 2.637²)/1000 = −3.195 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−3.195) = 266.8 kPa

答え

p₂ = 266.8 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 13.74 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(60000/1000 + 9.81·3.5)) = 13.74 m/s

答え

v = 13.74 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 139.8 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 310/44.01 = 7.044 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体積

V = nRT/P = 7.044·8.314·358.1/150 = 139.8 L

答え

V = 139.8 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 4.185 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 393.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/450)·(393.1/313.1) = 4.185 L

答え

V₂ = 4.185 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1358 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/598.1 = 48.48 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.4848·2800 = 1358 kJ

答え

W_max = 1358 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 199.3 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

機関の仕事

η = 1 − 298.1/1023 = 0.7086

Ẇ = 0.7086·50 = 35.43 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 253.1/(298.1 − 253.1) = 5.626

Q̇_L = 5.626·35.43 = 199.3 kW

答え

Q̇_L = 199.3 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 291.5 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 291.5 Hz

答え

f′ = 291.5 Hz

20.波・音・光学

答え: θ₁ = 11.35 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.1968

θ = 11.35°

答え

θ₁ = 11.35°

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