基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 31 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 31 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 35 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 35 mv_0B = 15 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 6.5 m/s ですべり、14 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 6.5 m/sd = 14 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 35° 上向きに打ち出すと、135 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 35°R = 135 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 24 m/s、水平から 45° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 24 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 10 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 2 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

22 m/s で動いている質量 1600 kg の自動車が、静止している質量 1400 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1600 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 11 m/sv_out = 10 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 100 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 270 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

500 kPa、5 °C において、He 400 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 400 gM = 4.003 g/molP = 500 kPaT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

900 kPa、10 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 900 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 725 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4100 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 725 °CT_L = 15 °CQ_H = 4100 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 600 °C の熱源から 4800 kJ の熱を受け取り、1536 kJ の仕事をして、残りを 35 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 600 °CT_L = 35 °CQ_H = 4800 kJW = 1536 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦は、200 m/s で波が伝わる中で、第 4 倍音が 533 Hz になる必要があります。その長さ L を求めてください。

v = 200 m/sn = 4f₄ = 533 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

1 ミリメートルあたり 600 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 2 の極大が、直進方向から 46.1° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 600 mm⁻¹θ₂ = 46.1°m = 2

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: t = 12.4 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/5 = 12.4 s

答え

t = 12.4 s

その瞬間、パトカーは 2v = 62 m/s で走っています。

2.運動学

答え: y = 8.295 m

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

35 − ½g·t² = 15·t − ½g·t² → t = 35/15 = 2.333 s

出会う高さ

y = 15·2.333 − ½·9.81·2.333² = 8.295 m

答え

y = 8.295 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.1538

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 6.5²/(2·14) = 1.509 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.509/9.81 = 0.1538

答え

μ = 0.1538

4.ニュートンの法則

答え: T = 10.51 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 2.453)/7 = 8.058 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·8.058 + 2.453 = 10.51 N

答え

T = 10.51 N

5.放物運動

答え: v₀ = 37.54 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·135/sin 70°) = 37.54 m/s

答え

v₀ = 37.54 m/s

6.放物運動

答え: α = 54.88 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 24·cos 45° = 16.97 m/s

v_y0 = 24·sin 45° = 16.97 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(16.97² + 2·9.81·15) = 24.13 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 24.13/16.97 → α = 54.88°

答え

α = 54.88°

7.仕事とエネルギー

答え: v = 9.855 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 9.855 m/s

答え

v = 9.855 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: v = 6.457 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(3 − 0.25·3.5) = 41.69 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.125) = 6.457 m/s

答え

v = 6.457 m/s

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 180693 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·22/3000 = 11.73 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1600·22² = 387200 J

K_after = ½·3000·11.73² = 206507 J

失われたエネルギー

ΔK = 387200 − 206507 = 180693 J

答え

ΔK = 180693 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 236.3 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(10 + 11) = 9.45 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 9.45/0.04 = 236.3 N

答え

F_avg = 236.3 N

11.静水圧

答え: F = 99.33 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·4.5 = 99.33 kN

答え

F = 99.33 kN

12.静水圧

答え: F = 128.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN

答え

F = 128.8 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 57.18 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/40)² = 9.375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 9.375²)/1000 = −42.82 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−42.82) = 57.18 kPa

答え

p₂ = 57.18 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 219.8 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/50)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−1.143) − 49.05 = 219.8 kPa

答え

p₂ = 219.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 462.2 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 400/4.003 = 99.93 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

体積

V = nRT/P = 99.93·8.314·278.1/500 = 462.2 L

答え

V = 462.2 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.53 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

密度

ρ = 900·4.003/(8.314·283.1) = 1.53 kg/m³

答え

ρ = 1.53 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2916 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/998.1 = 71.13 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.7113·4100 = 2916 kJ

答え

W_max = 2916 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 5.095 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 4800 − 1536 = 3264 kJ

絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −4800/873.1 = −5.497 kJ/K

ΔS_L = 3264/308.1 = 10.59 kJ/K

S_gen = 10.59 − 5.497 = 5.095 kJ/K

答え

S_gen = 5.095 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: L = 0.7505 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 200/533 = 0.3752 m

長さ

L = nλ/2 = 4·0.3752/2 = 0.7505 m

答え

L = 0.7505 m

20.波・音・光学

答え: λ = 600.5 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 46.1°/2 = 600.5 nm

答え

λ = 600.5 nm

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