基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
t (s)v (m/s)t = ?30

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。 ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −3 m/s²v = 0
t = s
2.運動学むずかしい
AB: 29 m/s60 m

球 A を高さ 60 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 29 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 60 mv0B = 29 m/sg = 9.81 m/s²
y = m
3.ニュートンの法則ふつう
θ = 45°a = ?m = 18 kg

質量 18 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 18 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.ニュートンの法則むずかしい
θ = 30°ブロックv₀ = 4 m/s

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 4 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 4 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
d = m
5.放物運動ふつう
v0​ = 34 m/s35°到達距離H = ?

ボールを 平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v0 = 34 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²
H = m
6.放物運動むずかしい
h = 40 mv0​ = 10 m/s15°x = ?

ボールを 高さ 40 m の崖の上から水平から 15° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v0 = 10 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.仕事とエネルギーふつう
0.05 kgk = 1000 N/mh = ?

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 4 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 1000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²
h = m
8.仕事とエネルギーむずかしい
h = 5 mL = 1 mμ = 0.2k = 4000 N/m

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。 ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 4 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.運動量と衝突ふつう
1600 kg14 m/s900 kg

14 m/s で動いている質量 1600 kg の自動車が、静止している質量 900 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。 元の運動エネルギーの何パーセント ΔK/K が失われるか。

m1 = 1600 kgv1 = 14 m/sm2 = 900 kgv2 = 0
ΔK/K = %
10.運動量と衝突むずかしい
27 m/s14 m/s

質量 0.25 kg のボールが 27 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。 壁がボールに及ぼす平均の力 Favg を求めよ。

m = 0.25 kgvin = 27 m/svout = 14 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
11.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 2.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水圧むずかしい
ゲートd = 2.5 mH = 1.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 150 mm, p1​ = 380 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 380 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 380 kPav1 = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.連続の式とベルヌーイむずかしい
pair​ = 90 kPaQ = ?d = 30 mmh = 2 m

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 90 kPa の圧縮空気がある。水面より 2 m 下にある直径 30 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

pair = 90 kPa (ゲージ圧)h = 2 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
15.理想気体の状態方程式ふつう
40 g のO₂V = 5 LT = 95 °CP = ?

容積 5 L のタンクに、温度 95 °C のO₂が 40 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 40 gM = 32 g/molV = 5 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のCO₂が 150 kPa、10 L、15 °C から 250 kPa、120 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 150 kPaV1 = 10 LT1 = 15 °CP2 = 250 kPaT2 = 120 °C
V2 = L
17.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 675 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 3200 kJQL​W = ?

熱機関が 675 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。 この機関は 3200 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 Wmax を求めよ。

TH = 675 °CTL = 25 °CQH = 3200 kJ
Wmax = kJ
18.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 400 °CT0​ = 30 °CTL​ = -5 °CERWQ̇H​ = 80 kWQ̇L​ = ?

カルノー熱機関が 400 °C の熱源から 80 kW の熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -5 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 30 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇L を求めよ。

TH = 400 °CT0 = 30 °CTL = -5 °CQ̇H = 80 kW
Q̇L = kW
19.波・音・光学ふつう
L = ?n = 5

両端が固定された弦 は、150 m/s で波が伝わる中で、第 5 倍音 が 250 Hz になる必要があります。その長さ L を求めてください。

v = 150 m/sn = 5f5 = 250 Hz
L = m
20.波・音・光学むずかしい
λ = 650 nmd = 0.1 mmL = 1.2 my = ?

波長 650 nm の光が、0.1 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1.2 m 先にあります。中央の明線から 5 番目の明線までの距離 y5 を求めてください。

λ = 650 nmd = 0.1 mmL = 1.2 mm = 5
y5 = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 10 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/3 = 10 s

答え

t = 10 s
2.運動学

答え: y = 39 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

60 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 60/29 = 2.069 s

出会う高さ

y = 29·2.069 − ½·9.81·2.069² = 39 m

答え

y = 39 m
3.ニュートンの法則

答え: a = 5.896 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答え

a = 5.896 m/s²
4.ニュートンの法則

答え: d = 1.39 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·5.755) = 1.39 m

答え

d = 1.39 m
5.放物運動

答え: H = 19.38 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 34·cos 35° = 27.85 m/s
vy = v0·sin θ = 34·sin 35° = 19.5 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 19.5²/(2·9.81) = 19.38 m

答え

H = 19.38 m
6.放物運動

答え: x = 30.25 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 10·cos 15° = 9.659 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 15° = 2.588 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 2.588·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (2.588 + √(6.699 + 784.8))/9.81 = 3.132 s

水平距離

x = vx·t = 9.659·3.132 = 30.25 m

答え

x = 30.25 m
7.仕事とエネルギー

答え: h = 1.631 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 4 cm = 0.04 m
½kx² = ½·1000·0.04² = 0.8 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N
h = ½kx²/(mg) = 0.8/0.4905 = 1.631 m

答え

h = 1.631 m
8.仕事とエネルギー

答え: v = 9.704 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(5 − 0.2·1) = 188.4 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.8) = 9.704 m/s

答え

v = 9.704 m/s
9.運動量と衝突

答え: ΔK/K = 36 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1600·14/2500 = 8.96 m/s

衝突前後の運動エネルギー

Kbefore = ½·1600·14² = 156800 J
Kafter = ½·2500·8.96² = 100352 J

失われた割合

ΔK/K = 56448/156800 = 36 %

答え

ΔK/K = 36 %

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: Favg = 1025 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(14 + 27) = 10.25 N·s

平均の力

Favg = J/Δt = 10.25/0.01 = 1025 N

答え

Favg = 1025 N
11.静水圧

答え: F = 128.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
ゲートd = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN

答え

F = 128.8 kN
12.静水圧

答え: ycp = 3.308 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
ゲートd = 2.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.25·2.25 = 63.13 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 0.4219/(3.25·2.25) = 3.308 m

答え

ycp = 3.308 m
13.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 368.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(150/75)² = 5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 380 + (−11.72) = 368.3 kPa

答え

p2 = 368.3 kPa
14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 10.47 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·2)) = 14.81 m/s

流量

Q = A·v = 0.0007069·14.81 = 0.01047 m³/s = 10.47 L/s

答え

Q = 10.47 L/s
15.理想気体の状態方程式

答え: P = 765.2 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 40/32 = 1.25 mol
T = 95 + 273.15 = 368.1 K

圧力

P = nRT/V = 1.25·8.314·368.1/0.005 = 765.2 kPa

答え

P = 765.2 kPa
16.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 8.186 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 288.1 K, T2 = 393.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 10·(150/250)·(393.1/288.1) = 8.186 L

答え

V2 = 8.186 L
17.熱機関と冷凍機

答え: Wmax = 2194 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 675 + 273.15 = 948.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 298.1/948.1 = 68.55 %

最大仕事

Wmax = ηmax·QH = 0.6855·3200 = 2194 kJ

答え

Wmax = 2194 kJ
18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇L = 336.9 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
T0 = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -5 + 273.15 = 268.1 K

機関の仕事

η = 1 − 303.1/673.1 = 0.5497
Ẇ = 0.5497·80 = 43.97 kW

冷凍機が取り除く熱

COPR = 268.1/(303.1 − 268.1) = 7.661
Q̇L = 7.661·43.97 = 336.9 kW

答え

Q̇L = 336.9 kW
19.波・音・光学

答え: L = 1.5 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 150/250 = 0.6 m

長さ

L = nλ/2 = 5·0.6/2 = 1.5 m

答え

L = 1.5 m
20.波・音・光学

答え: y5 = 39 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1.2/(0.1 × 10⁻³) = 7.8 mm

5 番目の縞

y5 = 5·7.8 = 39 mm

答え

y5 = 39 mm

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