基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 32 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 32 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 4 s 加速し、次に 11 s 等速で走り、最後に 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 4 st₂ = 11 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 50 kg の箱を、水平と 20° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 50 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、35° の斜面を速さ 4.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 4.5 m/sθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 40° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 12 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 40°μ = 0.3d = 12 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.2 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、6 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.2 kgv_in = 25 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 310 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 32 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 3 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 32 mmz_C = +3 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

350 kPa、10 °C において、He 500 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 500 gM = 4.003 g/molP = 350 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

400 kPa、200 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 700 °C の熱源から熱を受け取り、10 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 43% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 700 °CT_L = 10 °Cη = 43%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 1000 °C の熱源から 90 kW の熱を受け取り、27 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 27 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 1000 °CT₀ = 27 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 90 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 20 cm の薄い収束レンズの 8 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 8 cmf = 20 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

0.15 mm 離れた 2 本のスリットに単色光を当てます。1 m 先のスクリーンで、5 番目の明線は中央の縞から 20 mm の位置にあります。波長 λ を求めてください。

d = 0.15 mmL = 1 my₅ = 20 mmm = 5

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: d = 512 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/4 = 16 s

距離

d = v·t = 32·16 = 512 m

答え

d = 512 m

その瞬間、パトカーは 2v = 64 m/s で走っています。

2.運動学

答え: s = 110.4 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·4 = 8 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2·4² = 16 m

s₂ = 8·11 = 88 m

s₃ = 8²/(2·5) = 6.4 m

全距離

s = 16 + 88 + 6.4 = 110.4 m

答え

s = 110.4 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 306 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 167.8 + 138.3 = 306 N

答え

F = 306 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 1.482 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 35° + 0.15·cos 35°) = 6.832 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·6.832) = 1.482 m

答え

d = 1.482 m

5.放物運動

答え: t = 1.952 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 20° = 26.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 20° = 9.577 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·9.577/9.81 = 1.952 s

答え

t = 1.952 s

6.放物運動

答え: x = 84.56 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 25° = 28.1 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 25° = 13.1 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 13.1·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.1 + √(171.6 + 98.1))/9.81 = 3.01 s

水平距離

x = v_x·t = 28.1·3.01 = 84.56 m

答え

x = 84.56 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 9.861 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·12·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 9.861 m/s

答え

v = 9.861 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 14.86 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.25·3.5) = 11.04 J

最大縮み

½kx² = 11.04 → x = √(2·11.04/1000) = 0.1486 m = 14.86 cm

答え

x = 14.86 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 3.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 4.5)/(1.5 + 4.5)·7 = −3.5 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4.5)·7 = 3.5 m/s

答え

v′₂ = 3.5 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 6.2 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.2·(6 + 25) = 6.2 N·s

答え

J = 6.2 N·s

11.静水圧

答え: F = 29.43 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·1 = 29.43 kN

答え

F = 29.43 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.667 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.5·6 = 271.5 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 4.5/(4.5·6) = 4.667 m

答え

y_cp = 4.667 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 306.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/50)² = 2.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−3.174) = 306.8 kPa

答え

p₂ = 306.8 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 62.06 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(4.429²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa

答え

p_C = 62.06 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 840.1 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 500/4.003 = 124.9 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体積

V = nRT/P = 124.9·8.314·283.1/350 = 840.1 L

答え

V = 840.1 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.631 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 400·16.04/(8.314·473.1) = 1.631 kg/m³

答え

ρ = 1.631 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 60.65 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 283.1/973.1 = 70.9 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 43/70.9 = 60.65 %

答え

η_II = 60.65 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 328.2 kW

絶対温度

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 300.1/1273 = 0.7642

Ẇ = 0.7642·90 = 68.78 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 248.1/(300.1 − 248.1) = 4.772

Q̇_L = 4.772·68.78 = 328.2 kW

答え

Q̇_L = 328.2 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = −13.33 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/8

d_i = −13.33 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −13.33 cm

20.波・音・光学

答え: λ = 600 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = y·d/(mL) = 0.02·0.00015/(5·1) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm

答え

λ = 600 nm

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