基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 12 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 12 m/sθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg の小球が長さ 2 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 60° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 2 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 1 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1600 kg の自動車が、駐車中の質量 1700 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 21 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.8 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1600 kgm₂ = 1700 kgd = 21 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 380 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 90 kPa の圧縮空気がある。水面より 4.5 m 下にある直径 20 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 90 kPa (ゲージ圧)h = 4.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

350 kPa、80 °C において、He 190 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 190 gM = 4.003 g/molP = 350 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

800 kPa、110 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 800 kPaT = 110 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 500 °C の熱源から 2200 kJ の熱を受け取り、848 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 500 °CQ_H = 2200 kJQ_L = 848 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 650 °C の熱源から 10 kW の熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -30 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 30 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 650 °CT₀ = 30 °CT_L = -30 °CQ̇_H = 10 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 8 cm の薄い収束レンズの 10 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 10 cmf = 8 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 30 cm の凹面鏡の 30 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 30 cmR = 30 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 104.2 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·3) = 104.2 m

答え

s = 104.2 m

2.運動学

答え: t = 2.615 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−10 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 10 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.615 s

答え

t = 2.615 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 11.65 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.15·cos 30°) = 6.179 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·6.179) = 11.65 m

答え

d = 11.65 m

5.放物運動

答え: x = 40.16 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 40° = 15.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 40° = 12.86 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·12.86/9.81 = 2.621 s

水平距離

x = v_x·t = 15.32·2.621 = 40.16 m

答え

x = 40.16 m

6.放物運動

答え: x = 72.05 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9.72 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 9.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.72 + √(94.48 + 490.5))/9.81 = 3.456 s

水平距離

x = v_x·t = 20.85·3.456 = 72.05 m

答え

x = 72.05 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 9.81 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 60°) = 19.62 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·19.62/2 = 9.81 N

答え

T = 9.81 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 9.81 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 8.016 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(3.5 − 0.15·1.5) = 160.6 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.275) = 8.016 m/s

答え

v = 8.016 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 2.182 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1 − 4.5)/(1 + 4.5)·6 = −3.818 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4.5)·6 = 2.182 m/s

答え

v′₂ = 2.182 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 37.45 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·21) = 18.16 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·18.16/1600 = 37.45 m/s

答え

v₁ = 37.45 m/s

(134.8 km/h)

11.静水圧

答え: F = 68.67 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN

答え

F = 68.67 kN

12.静水圧

答え: F = 60.33 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·3 = 60.33 kN

答え

F = 60.33 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 378.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/75)² = 2.222 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.222²)/1000 = −1.688 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−1.688) = 378.3 kPa

答え

p₂ = 378.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 16.38 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·4.5)) = 16.38 m/s

答え

v = 16.38 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 398.2 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 190/4.003 = 47.46 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

体積

V = nRT/P = 47.46·8.314·353.1/350 = 398.2 L

答え

V = 398.2 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 7.034 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273.15 = 383.1 K

密度

ρ = 800·28.01/(8.314·383.1) = 7.034 kg/m³

答え

ρ = 7.034 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 24.86 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 773.1·848/2200 = 298 K = 24.86 °C

答え

T_L = 24.86 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 27.22 kW

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

機関の仕事

η = 1 − 303.1/923.1 = 0.6716

Ẇ = 0.6716·10 = 6.716 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 243.1/(303.1 − 243.1) = 4.052

Q̇_L = 4.052·6.716 = 27.22 kW

答え

Q̇_L = 27.22 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = 40 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/10

d_i = 40 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 40 cm

20.波・音・光学

答え: d_i = 30 cm

焦点距離

f = R/2 = 15 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/30

d_i = 30 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 30 cm

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