基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 180 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 1200 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 5 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 5 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 35 kg のそりを、水平から 25° 上向きのロープで、200 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 35 kgF = 200 Nθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 800 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.2 kg のボールをその上に置き、ばねを 6 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.2 kgk = 800 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg の台車が、半径 1 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 3 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 10 kgh = 3 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

質量 8 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 8 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 1 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 21 m/s で壁に当たり、20 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 21 m/sv_out = 20 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 19 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 100 mm、のど部 60 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 150 mm である。流量係数は 0.98 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 150 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 70 °C のCO₂が 330 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 330 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

850 kPa、110 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 850 kPaT = 110 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 750 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1800 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 750 °CT_L = 30 °CQ_H = 1800 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 10 °C の熱源から熱をくみ上げ、45 °C の暖房システムに 13.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 50% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 45 °CT_L = 10 °Cη_II = 50%Q̇_H = 13.5 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 440 Hz の音源に向かって 15 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、1 ミリメートルあたり 600 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 600 mm⁻¹λ = 600 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.042 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·1200) = 1.042 m/s²

答え

a = 1.042 m/s²

2.運動学

答え: t = 3.41 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.41 s

答え

t = 3.41 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.7 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 200·sin 25° = 258.8 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 181.3 − 51.77

a = 129.5/35 = 3.7 m/s²

答え

a = 3.7 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.121 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 7.357)/5.5 = 3.121 m/s²

答え

a = 3.121 m/s²

5.放物運動

答え: x = 51.37 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 70° = 9.577 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 70° = 26.31 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·26.31/9.81 = 5.364 s

水平距離

x = v_x·t = 9.577·5.364 = 51.37 m

答え

x = 51.37 m

6.放物運動

答え: t = 3.169 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 20° = 25.37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 20° = 9.235 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 9.235·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.235 + √(85.28 + 392.4))/9.81 = 3.169 s

答え

t = 3.169 s

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.7339 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·800·0.06² = 1.44 J

高さ

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 1.44/1.962 = 0.7339 m

答え

h = 0.7339 m

8.仕事とエネルギー

答え: N = 98.1 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3 − 2) = 19.62 m²/s²

最高点での力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·19.62/1 − 98.1 = 98.1 N

答え

N = 98.1 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v = 157.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·1.253/0.008 = 157.9 m/s

答え

v = 157.9 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 492 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(20 + 21) = 12.3 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 12.3/0.025 = 492 N

答え

F_avg = 492 N

11.静水圧

答え: F = 60.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答え

F = 60.7 kN

12.静水圧

答え: F = 111.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·2 = 111.2 kN

答え

F = 111.2 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 6.164 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·19000/1000) = 6.164 m/s

答え

v = 6.164 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 18.09 L/s

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.15 = 18541 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 60/100 = 0.6

v₂ = √(2·18541/(1000·(1 − 0.1296))) = 6.527 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.002827·6.527 = 0.01809 m³/s = 18.09 L/s

答え

Q = 18.09 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 4278 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 330/44.01 = 7.498 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

圧力

P = nRT/V = 7.498·8.314·343.1/0.005 = 4278 kPa

答え

P = 4278 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.068 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273.15 = 383.1 K

密度

ρ = 850·4.003/(8.314·383.1) = 1.068 kg/m³

答え

ρ = 1.068 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1267 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/1023 = 70.37 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.7037·1800 = 1267 kJ

答え

W_max = 1267 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 2.97 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 45 + 273.15 = 318.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 318.1/(318.1 − 283.1) = 9.09

COP = 0.5·9.09 = 4.545

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 13.5/4.545 = 2.97 kW

答え

Ẇ = 2.97 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 459.2 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 459.2 Hz

答え

f′ = 459.2 Hz

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 46.05 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/600 mm = 1.667 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·600 × 10⁻⁹/(1.667 × 10⁻⁶) = 0.72

θ = 46.05°

答え

θ₂ = 46.05°

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