基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 11 s 加速し、次に 8 s 等速で走り、最後に 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 11 st₂ = 8 sa₃ = −4.5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 19 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 19 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 100 N が前の 4 kg のブロックを引き、1 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgF = 100 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 55° 上向きに打ち出すと、100 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 55°R = 100 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 35° をなす斜面を 17 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.4 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 35°μ = 0.4d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、2 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 25 m/sv_out = 10 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 27 L/s で、200 mm から 150 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 150 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 27 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 150 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 100 mm、ゲージ圧は 130 kPa である。ノズル出口の直径は 40 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 100 mmp₁ = 130 kPa (ゲージ圧)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 80 °C のArが 440 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 440 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

850 kPa、140 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 850 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 475 °C の熱源から 4900 kJ の熱を受け取り、2116 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 475 °CQ_H = 4900 kJQ_L = 2116 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 750 °C の熱源から 90 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 750 °CT₀ = 20 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 90 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 3 倍音が 643 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 3f₃ = 643 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.46、クラッドは n₂ = 1.38 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.46n₂ = 1.38n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 13.02 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

答え

s = 13.02 m

2.運動学

答え: s = 350.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·11 = 22 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2·11² = 121 m

s₂ = 22·8 = 176 m

s₃ = 22²/(2·4.5) = 53.78 m

全距離

s = 121 + 176 + 53.78 = 350.8 m

答え

s = 350.8 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.923 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答え

a = 1.923 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 18.04 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 9.81)/5 = 18.04 m/s²

答え

a = 18.04 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 32.31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·100/sin 110°) = 32.31 m/s

答え

v₀ = 32.31 m/s

6.放物運動

答え: t = 5.233 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 55° = 12.62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 55° = 18.02 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 18.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.02 + √(324.8 + 784.8))/9.81 = 5.233 s

答え

t = 5.233 s

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 27.32 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.8192 = 4.018 N

F = μN = 0.4·4.018 = 1.607 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.607·17 = 27.32 J

答え

W_f = 27.32 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 7.736 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(3.5 − 0.3·1.5) = 149.6 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.05) = 7.736 m/s

答え

v = 7.736 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −0.6667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 5)/(2.5 + 5)·2 = −0.6667 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 5)·2 = 1.333 m/s

答え

v′₁ = −0.6667 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 210 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(10 + 25) = 10.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 10.5/0.05 = 210 N

答え

F_avg = 210 N

11.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 2.25/(2.5·3) = 2.8 m

答え

y_cp = 2.8 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 150.8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.027/0.03142 = 0.8594 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.027/0.01767 = 1.528 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 150 + ½·1000·(1.528² − 0.8594²)/1000 = 150 + 0.7979 = 150.8 kPa

答え

p₁ = 150.8 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 13.6 m

出口流速

β = 40/100 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0.9744)) = 16.33 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 16.33²/(2·9.81) = 13.6 m

答え

H = 13.6 m

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1078 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 440/39.95 = 11.01 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

圧力

P = nRT/V = 11.01·8.314·353.1/0.03 = 1078 kPa

答え

P = 1078 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.969 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

密度

ρ = 850·16.04/(8.314·413.1) = 3.969 kg/m³

答え

ρ = 3.969 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 49.93 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 748.1·2116/4900 = 323.1 K = 49.93 °C

答え

T_L = 49.93 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 354.1 kW

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/1023 = 0.7135

Ẇ = 0.7135·90 = 64.21 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 248.1/(293.1 − 248.1) = 5.514

Q̇_L = 5.514·64.21 = 354.1 kW

答え

Q̇_L = 354.1 kW

19.波・音・光学

答え: L = 0.8002 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/643 = 0.5334 m

長さ

L = nλ/2 = 3·0.5334/2 = 0.8002 m

答え

L = 0.8002 m

20.波・音・光学

答え: θ_a = 28.47 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.38/1.46 = 0.9452 → θc = 70.94°

開口数

NA = √(1.46² − 1.38²) = 0.4767

受光角

θ_a = arcsin(0.4767) = 28.47°

答え

θ_a = 28.47°

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