基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

36 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1.5 m/s² で 5 s 加速し、次に 22 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 22 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 7 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 40 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 24 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 24 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 12 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.2d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 3.5 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 8 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 2 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 25 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 17 L/s で、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 70 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 17 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 200 mm、のど部 100 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 330 mm である。流量係数は 0.98 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 330 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

200 kPa、80 °C において、N₂ 280 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 280 gM = 28.01 g/molP = 200 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

700 kPa、140 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 700 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 0.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を 0 °C に保ち、30 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = 0 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 0.5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、28 °C のキッチンで冷蔵室を 2 °C に保ち、冷蔵室から 3 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 28 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

400 Hz の音源が、静止している観測者から遠ざかるように 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 800 本の線があります。波長 405 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 800 mm⁻¹λ = 405 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: s = 10 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5) = 10 m

答え

s = 10 m

2.運動学

答え: s = 193.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·5 = 7.5 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·1.5·5² = 18.75 m

s₂ = 7.5·22 = 165 m

s₃ = 7.5²/(2·3) = 9.375 m

全距離

s = 18.75 + 165 + 9.375 = 193.1 m

答え

s = 193.1 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.479 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答え

a = 1.479 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.292 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 11.04)/10 = 4.292 m/s²

答え

a = 4.292 m/s²

5.放物運動

答え: t = 7.391 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 65° = 16.9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 65° = 36.25 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·36.25/9.81 = 7.391 s

答え

t = 7.391 s

6.放物運動

答え: α = 45.21 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 24·cos 30° = 20.78 m/s

v_y0 = 24·sin 30° = 12 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12² + 2·9.81·15) = 20.94 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 20.94/20.78 → α = 45.21°

答え

α = 45.21°

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 180.4 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.2·75.15 = 15.03 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 15.03·12 = 180.4 J

答え

W_f = 180.4 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 58.6 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.25·3.5) = 257.5 J

最大縮み

½kx² = 257.5 → x = √(2·257.5/1500) = 0.586 m = 58.6 cm

答え

x = 58.6 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 210.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2)·1.253/0.012 = 210.1 m/s

答え

v = 210.1 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 24.2 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(19 + 25) = 24.2 N·s

答え

J = 24.2 N·s

11.静水圧

答え: F = 39.24 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

答え

F = 39.24 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.789 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.75·4.5 = 264.2 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.8438/(4.75·4.5) = 4.789 m

答え

y_cp = 4.789 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 71.88 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.017/0.01767 = 0.962 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.017/0.007854 = 2.165 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(2.165² − 0.962²)/1000 = 70 + 1.88 = 71.88 kPa

答え

p₁ = 71.88 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 71.8 L/s

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.33 = 40790 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 100/200 = 0.5

v₂ = √(2·40790/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.328 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.007854·9.328 = 0.0718 m³/s = 71.8 L/s

答え

Q = 71.8 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 146.8 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 280/28.01 = 9.996 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

体積

V = nRT/P = 9.996·8.314·353.1/200 = 146.8 L

答え

V = 146.8 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 5.708 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

密度

ρ = 700·28.01/(8.314·413.1) = 5.708 kg/m³

答え

ρ = 5.708 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 0.5549 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 0.5·303.1/273.1 = 0.5549 kW

答え

Q̇_H = 0.5549 kW

入力動力：Ẇ = 0.05491 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.2835 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(301.1 − 275.1) = 10.58

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/10.58 = 0.2835 kW

答え

Ẇ_min = 0.2835 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 388.7 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 388.7 Hz

答え

f′ = 388.7 Hz

20.波・音・光学

答え: m_max = 3

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/800 mm = 1.25 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 1.25 µm/0.405 µm = 3.086 → m_max = 3

答え

m_max = 3

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