基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 33 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、3.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 33 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2.5 s の間、一定の上向きの加速度 32 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 32 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 10 m/s ですべり、100 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 10 m/sd = 100 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 75 N が前の 1 kg のブロックを引き、5 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgF = 75 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 30 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 9 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.1d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg の台車が、半径 1.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 5.3 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 10 kgh = 5.3 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、10 m/s で動く質量 2 kg のグライダーが、静止している質量 3.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、17 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 29 m/sv_out = 17 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 14 L/s で、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 180 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 14 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 180 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 4.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 50 mmz_C = +0.5 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

650 kPa、10 °C において、CH₄ 220 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 220 gM = 16.04 g/molP = 650 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 350 kPa、20 L、40 °C から 600 kPa、60 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 350 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 425 °C の高温熱源と 5 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1200 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 425 °CT_L = 5 °CQ_H = 1200 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 -10 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 4 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 4 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 12 cm の薄い収束レンズの 25 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 25 cmf = 12 cm

m =

20.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、30 m/s で近づいてくる車に向けて 30 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 18.86 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/3.5 = 18.86 s

答え

t = 18.86 s

その瞬間、パトカーは 2v = 66 m/s で走っています。

2.運動学

答え: h_max = 426.2 m

動力飛行段階

v₁ = 32·2.5 = 80 m/s

h₁ = ½·32·2.5² = 100 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 80²/(2·9.81) = 326.2 m

h_max = 100 + 326.2 = 426.2 m

答え

h_max = 426.2 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.05097

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·100) = 0.5 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.5/9.81 = 0.05097

答え

μ = 0.05097

4.ニュートンの法則

答え: T = 62.5 N

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 14.71)/6 = 10.05 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(10.05 + 2.453) = 62.5 N

答え

T = 62.5 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: H = 9.691 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 50° = 11.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 50° = 13.79 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 13.79²/(2·9.81) = 9.691 m

答え

H = 9.691 m

6.放物運動

答え: t = 4.972 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18.35 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 18.35·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.35 + √(336.9 + 588.6))/9.81 = 4.972 s

答え

t = 4.972 s

7.仕事とエネルギー

答え: v = 7.657 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.4226 − 0.1·0.9063)) = 7.657 m/s

答え

v = 7.657 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: N = 202.7 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.3 − 3) = 45.13 m²/s²

最高点での力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·45.13/1.5 − 98.1 = 202.7 N

答え

N = 202.7 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −2.727 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2 − 3.5)/(2 + 3.5)·10 = −2.727 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3.5)·10 = 7.273 m/s

答え

v′₁ = −2.727 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 460 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(17 + 29) = 23 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 23/0.05 = 460 N

答え

F_avg = 460 N

11.静水圧

答え: F = 85.84 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

答え

F = 85.84 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.25 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·9 = 264.9 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 6.75/(3·9) = 3.25 m

答え

y_cp = 3.25 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 203.8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.014/0.007854 = 1.783 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.014/0.001963 = 7.13 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 180 + ½·1000·(7.13² − 1.783²)/1000 = 180 + 23.83 = 203.8 kPa

答え

p₁ = 203.8 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 52.25 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa

答え

p_C = 52.25 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 49.67 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 220/16.04 = 13.72 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体積

V = nRT/P = 13.72·8.314·283.1/650 = 49.67 L

答え

V = 49.67 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 12.41 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 333.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(350/600)·(333.1/313.1) = 12.41 L

答え

V₂ = 12.41 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 721.9 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/698.1 = 60.16 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6016·1200 = 721.9 kJ

答え

W_max = 721.9 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 9.772

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

答え

COP_max = 9.772

19.波・音・光学

答え: m = −0.9231

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/25

d_i = 23.08 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −23.08/25 = −0.9231

答え

m = −0.9231

20.波・音・光学

答え: f_b = 5751 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 30000·(343 + 30)/343 = 32624 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 30) = 35751 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 5751 Hz

答え

f_b = 5751 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers