基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 45 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1500 kg の自動車が 2° の坂を一定の 90 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 550 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1500 kgθ = 2°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

25° の斜面の下端にあるばね定数 500 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 500 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 30 m/s で壁に当たり、5 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 30 m/sv_out = 5 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 400 kPa、流速は 2.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 40 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 220 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 90 °C のN₂が 430 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 430 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

550 kPa、130 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 550 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 275 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 275 °CT_L = 20 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 800 °C の熱源から 3300 kJ の熱を受け取り、1419 kJ の仕事をして、残りを 25 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 800 °CT_L = 25 °CQ_H = 3300 kJW = 1419 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.4 m です。音速は 343 m/s です。その第 7 倍音の振動数 f₇ を求めてください。

v = 343 m/sn = 7L = 0.4 m

f₇ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、0.5 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1 m 先にあります。中央の明線から 3 番目の明線までの距離 y₃ を求めてください。

λ = 600 nmd = 0.5 mmL = 1 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 25.25 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

答え

s = 25.25 m

2.運動学

答え: t = 4.416 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.416 s

答え

t = 4.416 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.479 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答え

a = 1.479 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.886 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 5.886)/9 = 5.886 m/s²

答え

a = 5.886 m/s²

5.放物運動

答え: H = 2.497 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 30° = 12.12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 30° = 7 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

答え

H = 2.497 m

6.放物運動

答え: t = 4.259 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14.74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10.32 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 45 + 10.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.32 + √(106.6 + 882.9))/9.81 = 4.259 s

答え

t = 4.259 s

7.仕事とエネルギー

答え: P = 26.59 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 2° = 513.5 N

F = 513.5 + 550 = 1064 N

電力

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1064·25 = 26589 W = 26.59 kW

答え

P = 26.59 kW

8.仕事とエネルギー

答え: d = 1.314 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·500·0.12² = 3.6 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3.6/(4.905·(0.4226 + 0.15·0.9063)) = 1.314 m

答え

d = 1.314 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 7.467 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·8 = −0.5333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·8 = 7.467 m/s

答え

v′₂ = 7.467 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 3850 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(5 + 30) = 19.25 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 19.25/0.005 = 3850 N

答え

F_avg = 3850 N

11.静水圧

答え: F = 55.18 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.5 = 55.18 kN

答え

F = 55.18 kN

12.静水圧

答え: F = 131.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.25·2.5 = 131.3 kN

答え

F = 131.3 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 371.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(75/40)² = 7.91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 7.91²)/1000 = −28.75 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−28.75) = 371.2 kPa

答え

p₂ = 371.2 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 76.37 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/40)² = 10.55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 10.55²)/1000 = −55.34 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−55.34) − 88.29 = 76.37 kPa

答え

p₂ = 76.37 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 4635 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 430/28.01 = 15.35 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

圧力

P = nRT/V = 15.35·8.314·363.1/0.01 = 4635 kPa

答え

P = 4635 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.596 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 550·28.01/(8.314·403.1) = 4.596 kg/m³

答え

ρ = 4.596 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 46.52 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 275 + 273.15 = 548.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/548.1 = 46.52 %

答え

η_max = 46.52 %

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 3.234 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 3300 − 1419 = 1881 kJ

絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −3300/1073 = −3.075 kJ/K

ΔS_L = 1881/298.1 = 6.309 kJ/K

S_gen = 6.309 − 3.075 = 3.234 kJ/K

答え

S_gen = 3.234 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: f₇ = 1501 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.4/7 = 0.2286 m

振動数

f = v/λ = 343/0.2286 = 1501 Hz

答え

f₇ = 1501 Hz

20.波・音・光学

答え: y₃ = 3.6 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1/(0.5 × 10⁻³) = 1.2 mm

3 番目の縞

y₃ = 3·1.2 = 3.6 mm

答え

y₃ = 3.6 mm

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