基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 45 kg の箱を、水平と 20° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 45 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 35 N が前の 4 kg のブロックを引き、1 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgF = 35 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 30 m/s で打ち出し、30 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 30 m/sR = 30 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 400 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.5 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.5 kgk = 400 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.1）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 4 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 3 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 7 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 24 m/s で壁に当たり、20 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 24 m/sv_out = 20 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 25 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 6 m 上に保たれ、流量係数は 0.61 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 25 mmh = 6 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 310 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

600 kPa、35 °C において、N₂ 400 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 400 gM = 28.01 g/molP = 600 kPaT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

300 kPa、180 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 300 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 8.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -5 °C に保ち、35 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -5 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 8.5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 500 °C の熱源から 30 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は 0 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 500 °CT₀ = 20 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 30 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、30° を超えるすべての入射角で、水（n = 1.33）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 30°n₂ = 1.33

n₁ =

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 50 cm の凸面鏡の 6 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 6 cmR = 50 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 20.45 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·5.5) = 20.45 m

答え

s = 20.45 m

2.運動学

答え: t = 4.92 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.92 s

答え

t = 4.92 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 254.7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 151 + 103.7 = 254.7 N

答え

F = 254.7 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 7 N

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (35 − 4.905)/5 = 6.019 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(6.019 + 0.981) = 7 N

答え

T = 7 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: θ = 9.543 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·30/30² = 0.327

位相角

2θ = 19.09° → θ = 9.543°

答え

θ = 9.543°

もう 1 つの解は 90° − θ = 80.46° です。

6.放物運動

答え: x = 67.01 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 45° = 13.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 45° = 13.44 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 13.44·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.44 + √(180.5 + 1079))/9.81 = 4.987 s

水平距離

x = v_x·t = 13.44·4.987 = 67.01 m

答え

x = 67.01 m

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.261 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·400·0.08² = 1.28 J

高さ

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.28/4.905 = 0.261 m

答え

h = 0.261 m

8.仕事とエネルギー

答え: v = 4.784 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 39.24·3 = 117.7 J

μ·m₁g·d = 0.1·49.05·3 = 14.72 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 103 → v = √(2·103/9) = 4.784 m/s

答え

v = 4.784 m/s

9.運動量と衝突

答え: v = 235.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1)·1.172/0.005 = 235.6 m/s

答え

v = 235.6 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 4.4 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(20 + 24) = 4.4 N·s

答え

J = 4.4 N·s

11.静水圧

答え: F = 257.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·5 = 257.5 kN

答え

F = 257.5 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.939 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 1.302/(2.75·2.5) = 2.939 m

答え

y_cp = 2.939 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 3.249 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0004909·10.85 = 0.003249 m³/s = 3.249 L/s

答え

Q = 3.249 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 231 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/100)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−0.5078) − 78.48 = 231 kPa

答え

p₂ = 231 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 60.98 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 400/28.01 = 14.28 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

体積

V = nRT/P = 14.28·8.314·308.1/600 = 60.98 L

答え

V = 60.98 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.548 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 300·32/(8.314·453.1) = 2.548 kg/m³

答え

ρ = 2.548 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 9.768 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 8.5·308.1/268.1 = 9.768 kW

答え

Q̇_H = 9.768 kW

入力動力：Ẇ = 1.268 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 254.4 kW

絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/773.1 = 0.6208

Ẇ = 0.6208·30 = 18.63 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 273.1/(293.1 − 273.1) = 13.66

Q̇_L = 13.66·18.63 = 254.4 kW

答え

Q̇_L = 254.4 kW

19.波・音・光学

答え: n₁ = 2.66

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.5 = 2.66

答え

n₁ = 2.66

20.波・音・光学

答え: d_i = −4.839 cm

焦点距離

f = −R/2 = −25 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/6

d_i = −4.839 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −4.839 cm

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