基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1.5 m/s² で 8 s 加速し、次に 13 s 等速で走り、最後に 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 13 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg と 3.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 1 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 5.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 5.5 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1000 kg の自動車が 8° の坂を一定の 54 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 600 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 800 N/m のばねを、質量 2 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 2 kgk = 800 N/mx = 15 cmθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

水平に 28 m/s で動いている質量 13 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 10 kg の破片は前向きに 41 m/s で進み続ける。質量 3 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 13 kgu = 28 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 41 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 24 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 24 m/sv_out = 11 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 390 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 3 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 2 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 50 mmz_C = +3 mz₂ = −2 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 70 °C のCO₂が 490 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 490 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

750 kPa、110 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 750 kPaT = 110 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 475 °C の熱源から 2800 kJ の熱を受け取り、1078 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 475 °CQ_H = 2800 kJQ_L = 1078 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、25 °C のキッチンで冷蔵室を -10 °C に保ち、冷蔵室から 2 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 25 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 2 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 1 m です。音速は 343 m/s です。その第 3 倍音の振動数 f₃ を求めてください。

v = 343 m/sn = 3L = 1 m

f₃ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、25 m/s で遠ざかる車に向けて 40 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 19.53 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4) = 19.53 m

答え

s = 19.53 m

2.運動学

答え: s = 222 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·8 = 12 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·1.5·8² = 48 m

s₂ = 12·13 = 156 m

s₃ = 12²/(2·4) = 18 m

全距離

s = 48 + 156 + 18 = 222 m

答え

s = 222 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 40.39 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (5 − 3.5)·9.81/(5 + 3.5) = 1.731 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3.5·(9.81 + 1.731) = 40.39 N

答え

T = 40.39 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 12.94 N

糸に沿った力

m₂·g = 53.96 N

m₁·g·sin θ = 4.146 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.334 N

系の加速度

a = (53.96 − 4.146 − 1.334)/6.5 = 7.458 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 5.5·(9.81 − 7.458) = 12.94 N

答え

T = 12.94 N

5.放物運動

答え: H = 2.949 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7.607 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7.607²/(2·9.81) = 2.949 m

答え

H = 2.949 m

6.放物運動

答え: t = 4.319 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 8.452·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.452 + √(71.44 + 1079))/9.81 = 4.319 s

答え

t = 4.319 s

7.仕事とエネルギー

答え: P = 29.48 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 600 = 1965 N

電力

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1965·15 = 29479 W = 29.48 kW

答え

P = 29.48 kW

8.仕事とエネルギー

答え: d = 1.136 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·800·0.15² = 9 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9/(19.62·(0.2588 + 0.15·0.9659)) = 1.136 m

答え

d = 1.136 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = −15.33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 13·28 = 364 kg·m/s

衝突後の運動量

364 = 10·41 + 3·v′₂

v′₂ = (364 − 410)/3 = −15.33 m/s

答え

v′₂ = −15.33 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 875 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(11 + 24) = 17.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 17.5/0.02 = 875 N

答え

F_avg = 875 N

11.静水圧

答え: F = 98.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·2 = 98.1 kN

答え

F = 98.1 kN

12.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 377.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−12.7) = 377.3 kPa

答え

p₂ = 377.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 52.25 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·2) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(6.264²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa

答え

p_C = 52.25 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 635.3 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 490/44.01 = 11.13 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

圧力

P = nRT/V = 11.13·8.314·343.1/0.05 = 635.3 kPa

答え

P = 635.3 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.406 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273.15 = 383.1 K

密度

ρ = 750·39.95/(8.314·383.1) = 9.406 kg/m³

答え

ρ = 9.406 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 14.89 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 748.1·1078/2800 = 288 K = 14.89 °C

答え

T_L = 14.89 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.266 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(298.1 − 263.1) = 7.519

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2/7.519 = 0.266 kW

答え

Ẇ_min = 0.266 kW

19.波・音・光学

答え: f₃ = 514.5 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1/3 = 0.6667 m

振動数

f = v/λ = 343/0.6667 = 514.5 Hz

答え

f₃ = 514.5 Hz

20.波・音・光学

答え: f″ = 34565 Hz

車での振動数

f′ = 40000·(343 − 25)/343 = 37085 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 25) = 34565 Hz

答え

f″ = 34565 Hz

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