基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 35 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 27 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 35 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 10 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 3 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 30°μ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 18 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 4 kgh = 18 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 18 m/s で壁に当たり、18 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 18 m/sv_out = 18 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 330 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 140 kPa、流速は 1.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 140 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

750 kPa、5 °C において、CH₄ 60 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 60 gM = 16.04 g/molP = 750 kPaT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

500 kPa、120 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 500 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 475 °C の高温熱源と 10 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 475 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 7 °C のときに家を 21 °C に保ち、家に 8 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 21 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 8 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、基本振動（第 1 倍音）が 114 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 1f₁ = 114 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

0.3 mm 離れた 2 本のスリットに単色光を当てます。2.5 m 先のスクリーンで、1 番目の明線は中央の縞から 5 mm の位置にあります。波長 λ を求めてください。

d = 0.3 mmL = 2.5 my₁ = 5 mmm = 1

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: s = 19.53 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4) = 19.53 m

答え

s = 19.53 m

2.運動学

答え: t = 1.296 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

35 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 35/27 = 1.296 s

答え

t = 1.296 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 28.15 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/11.5 = 5.118 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·5.118 + 0 = 28.15 N

答え

T = 28.15 N

5.放物運動

答え: t = 3.145 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 40° = 18.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 40° = 15.43 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·15.43/9.81 = 3.145 s

答え

t = 3.145 s

6.放物運動

答え: t = 6.325 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 60° = 17 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 60° = 29.44 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 10 + 29.44·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (29.44 + √(867 + 196.2))/9.81 = 6.325 s

答え

t = 6.325 s

7.仕事とエネルギー

答え: v = 3.76 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.5 − 0.3·0.866)) = 3.76 m/s

答え

v = 3.76 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 8.859 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(1 − 0.2·1) = 3.924 J

最大縮み

½kx² = 3.924 → x = √(2·3.924/1000) = 0.08859 m = 8.859 cm

答え

x = 8.859 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 628.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.18) = 1.879 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 4)·1.879/0.012 = 628.3 m/s

答え

v = 628.3 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 990 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(18 + 18) = 19.8 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 19.8/0.02 = 990 N

答え

F_avg = 990 N

11.静水圧

答え: F = 386.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·7.5 = 386.3 kN

答え

F = 386.3 kN

12.静水圧

答え: F = 34.34 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·1 = 34.34 kN

答え

F = 34.34 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 322.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 330 + (−7.5) = 322.5 kPa

答え

p₂ = 322.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 83.37 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/40)² = 6.152 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 6.152²)/1000 = −17.39 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−17.39) − 39.24 = 83.37 kPa

答え

p₂ = 83.37 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 11.53 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 60/16.04 = 3.741 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

体積

V = nRT/P = 3.741·8.314·278.1/750 = 11.53 L

答え

V = 11.53 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.895 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 500·32/(8.314·393.1) = 4.895 kg/m³

答え

ρ = 4.895 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 62.15 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/748.1 = 62.15 %

答え

η_max = 62.15 %

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 21.01

絶対温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 280.1) = 21.01

答え

COP_max = 21.01

19.波・音・光学

答え: L = 1.504 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/114 = 3.009 m

長さ

L = nλ/2 = 1·3.009/2 = 1.504 m

答え

L = 1.504 m

20.波・音・光学

答え: λ = 600 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = y·d/(mL) = 0.005·0.0003/(1·2.5) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm

答え

λ = 600 nm

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