基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 32 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 32 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2.5 s の間、一定の上向きの加速度 36 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 36 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 10 m のがけの上から、ボールを 22 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 22 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 80 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.4 である。停止距離 d を求めよ。

v = 80 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 2 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 9 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 5 kgh = 9 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 27 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 27 m/sv_out = 11 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 110 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 50 kPa の圧縮空気がある。水面より 3 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 50 kPa (ゲージ圧)h = 3 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 85 °C のO₂が 270 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 270 gM = 32 g/molV = 30 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

250 kPa、90 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 250 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 575 °C の熱源から 2500 kJ の熱を受け取り、938 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 575 °CQ_H = 2500 kJQ_L = 938 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 -10 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 15 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 15 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

光がクラウンガラス（n = 1.50）の中を、アクリル（n = 1.49）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.50n₂ = 1.49

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、1 ミリメートルあたり 500 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 500 mm⁻¹λ = 550 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 409.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/5 = 12.8 s

距離

d = v·t = 32·12.8 = 409.6 m

答え

d = 409.6 m

その瞬間、パトカーは 2v = 64 m/s で走っています。

2.運動学

答え: h_max = 525.3 m

動力飛行段階

v₁ = 36·2.5 = 90 m/s

h₁ = ½·36·2.5² = 112.5 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 90²/(2·9.81) = 412.8 m

h_max = 112.5 + 412.8 = 525.3 m

答え

h_max = 525.3 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.781 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答え

a = 2.781 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.5606 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 10.79)/7 = 0.5606 m/s²

答え

a = 0.5606 m/s²

5.放物運動

答え: x = 15.31 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12.69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5.917 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·5.917/9.81 = 1.206 s

水平距離

x = v_x·t = 12.69·1.206 = 15.31 m

答え

x = 15.31 m

6.放物運動

答え: α = 43.07 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 22·cos 30° = 19.05 m/s

v_y0 = 22·sin 30° = 11 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11² + 2·9.81·10) = 17.81 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 17.81/19.05 → α = 43.07°

答え

α = 43.07°

7.仕事とエネルギー

答え: d = 62.92 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.4·9.81) = 62.92 m

答え

d = 62.92 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: N = 196.2 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(9 − 4) = 98.1 m²/s²

最高点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·98.1/2 − 49.05 = 196.2 N

答え

N = 196.2 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 1.167 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·7 = 1.167 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·7 = 8.167 m/s

答え

v′₁ = 1.167 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 456 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(11 + 27) = 11.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 11.4/0.025 = 456 N

答え

F_avg = 456 N

11.静水圧

答え: F = 79.71 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.5 = 79.71 kN

答え

F = 79.71 kN

12.静水圧

答え: F = 284.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·5.5·6 = 284.9 kN

答え

F = 284.9 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 103.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−6.752) = 103.2 kPa

答え

p₂ = 103.2 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 12.6 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(50000/1000 + 9.81·3)) = 12.6 m/s

答え

v = 12.6 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 837.5 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 270/32 = 8.438 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

圧力

P = nRT/V = 8.438·8.314·358.1/0.03 = 837.5 kPa

答え

P = 837.5 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.65 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

密度

ρ = 250·32/(8.314·363.1) = 2.65 kg/m³

答え

ρ = 2.65 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 45.08 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 575 + 273.15 = 848.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 848.1·938/2500 = 318.2 K = 45.08 °C

答え

T_L = 45.08 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 9.772

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

答え

COP_max = 9.772

19.波・音・光学

答え: θ_c = 83.38 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/1.50 = 0.9933

臨界角

θc = arcsin(0.9933) = 83.38°

答え

θ_c = 83.38°

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 33.37 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·550 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0.55

θ = 33.37°

答え

θ₂ = 33.37°

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