基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.7 s で、その後、自動車は一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 54 km/ht_r = 0.7 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 12 s 加速し、次に 18 s 等速で走り、最後に 2.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 18 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 14 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 14 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 30 m/s で打ち出し、65 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 30 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 30 m の崖の上から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 11 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg の小球が長さ 1 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 90° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 1 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg の台車が、半径 5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 16 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 1 kgh = 16 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 16 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 4 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 1.6 m の軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 35° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 2 kgL = 1.6 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 230 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 230 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 150 mm、のど部 75 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 150 mm である。流量係数は 0.99 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 150 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

400 kPa、60 °C において、CO₂ 220 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 220 gM = 44.01 g/molP = 400 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 100 kPa、10 L、30 °C から 400 kPa、240 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 725 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 725 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 2 °C の熱源から熱をくみ上げ、20 °C の暖房システムに 15.5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 50% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = 2 °Cη_II = 50%Q̇_H = 15.5 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.6 m です。音速は 343 m/s です。その基本振動（第 1 倍音）の振動数 f₁ を求めてください。

v = 343 m/sn = 1L = 0.6 m

f₁ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、30 m/s で遠ざかる車に向けて 25 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 25.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 15·0.7 = 10.5 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·7.5) = 15 m

合計

d = 10.5 + 15 = 25.5 m

答え

d = 25.5 m

2.運動学

答え: s = 900 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·12 = 30 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·12² = 180 m

s₂ = 30·18 = 540 m

s₃ = 30²/(2·2.5) = 180 m

全距離

s = 180 + 540 + 180 = 900 m

答え

s = 900 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.781 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答え

a = 2.781 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.204 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/14 = 4.204 m/s²

答え

a = 4.204 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 22.56 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/30² = 0.7085

位相角

2θ = 45.11° → θ = 22.56°

答え

θ = 22.56°

もう 1 つの解は 90° − θ = 67.44° です。

6.放物運動

答え: x = 29.83 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 25° = 9.969 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 25° = 4.649 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 4.649·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.649 + √(21.61 + 588.6))/9.81 = 2.992 s

水平距離

x = v_x·t = 9.969·2.992 = 29.83 m

答え

x = 29.83 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 14.71 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 90°) = 19.62 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·19.62/1 = 14.71 N

答え

T = 14.71 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 14.71 N。

8.仕事とエネルギー

答え: N = 13.73 N

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(16 − 10) = 117.7 m²/s²

最高点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·117.7/5 − 9.81 = 13.73 N

答え

N = 13.73 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v = 592.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 4)·1.772/0.012 = 592.4 m/s

答え

v = 592.4 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 240.7 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 35°) = 0.2894 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.2894) = 2.383 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.02·2.383/0.02 = 240.7 m/s

答え

v = 240.7 m/s

11.静水圧

答え: F = 55.18 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·1.5 = 55.18 kN

答え

F = 55.18 kN

12.静水圧

答え: F = 407.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.5·9 = 407.2 kN

答え

F = 407.2 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 211.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−18.28) = 211.7 kPa

答え

p₂ = 211.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 27.51 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.15 = 18541 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 75/150 = 0.5

v₂ = √(2·18541/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.289 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.004418·6.289 = 0.02751 m³/s = 27.51 L/s

答え

Q = 27.51 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 34.61 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 220/44.01 = 4.999 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体積

V = nRT/P = 4.999·8.314·333.1/400 = 34.61 L

答え

V = 34.61 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 4.232 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 513.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/400)·(513.1/303.1) = 4.232 L

答え

V₂ = 4.232 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 70.13 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/998.1 = 70.13 %

答え

η_max = 70.13 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.903 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

COP = 0.5·16.29 = 8.143

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 15.5/8.143 = 1.903 kW

答え

Ẇ = 1.903 kW

19.波・音・光学

答え: f₁ = 142.9 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.6/1 = 2.4 m

振動数

f = v/λ = 343/2.4 = 142.9 Hz

答え

f₁ = 142.9 Hz

20.波・音・光学

答え: f″ = 20979 Hz

車での振動数

f′ = 25000·(343 − 30)/343 = 22813 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 30) = 20979 Hz

答え

f″ = 20979 Hz

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