1公式と解法
DC-DC コンバータ
- 降圧形
- Vo = D·Vin
- 昇圧形
- Vo = Vin/(1 − D)
- 反転形昇降圧
- |Vo| = Vin·D/(1 − D)
- 理想的な電力の釣り合い
- VinIin = VoIo
- インダクタのリプル
- ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
- インダクタ電流の平均値
- 降圧形 Io；昇圧形と昇降圧形 Io/(1 − D)
- 出力リプル
- 降圧形 ΔIL/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 Io·D/(fC)
- CCM の境界
- 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)
解き方
- 電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
- インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
- スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔIL = VL·D/(L·f) を求めます。
- 出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔIL/2 とおきます。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
2演習問題
1.DC-DC コンバータふつう
理想的な 昇圧形 コンバータが、100 kHz、L = 33 µH で 12 V を 48 V に変換します。インダクタのピーク間リプル電流 ΔIL を求めなさい。
Vin = 12 VVo = 48 Vf = 100 kHzL = 33 µH
ΔIL = A
2.DC-DC コンバータむずかしい
降圧コンバータが、250 kHz、L = 330 µH で 24 V を 9.6 V に変換します。出力のピーク間リプルを 100 mV に抑える出力容量 C を求めなさい。
Vin = 24 VVo = 9.6 Vf = 250 kHzL = 330 µHΔVo = 100 mV
C = µF
3.直流モーターふつう
直流モーターが 120 V の電源から 10 A を引き込みます。電機子抵抗は 1.5 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 63 W です。効率 η を求めなさい。
V = 120 VIa = 10 ARa = 1.5 ΩProt = 63 W
η = %
4.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、220 V の直流母線からモーター（k = 1.2 V·s/rad、Ra = 0.8 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·220 V です。負荷 7.2 N·m で 600 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 220 Vk = 1.2 V·s/radRa = 0.8 ΩT = 7.2 N·mn = 600 rpm
D = %
5.交流電力と力率ふつう
誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 6.5 A と 1121 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。
V = 230 VI = 6.5 AP = 1121 W
X = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.8 で 27 kW を消費する。330 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
P = 27 kWpf1 = 0.8V = 400 Vf = 50 HzC = 330 µF
cos φ =
7.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 90 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.9 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 90 kWη = 88%cos φ = 0.9VL = 480 V
IL = A
8.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 50 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 50 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3溶液
1.DC-DC コンバータ
答え: ΔIL = 2.727 A
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
オン時間中のインダクタ電圧
S がオンの間、インダクタは Vin に直接つながれます。
リプル電流
ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0.75/(33·10⁻⁶·100·10³) = 2.727 A
2.DC-DC コンバータ
答え: C = 0.3491 µF
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
インダクタのリプル電流
ΔIL = (24 − 9.6)·0.4/(330·10⁻⁶·250·10³) = 0.06982 A
静電容量
C = 0.06982/(8·250·10³·100·10⁻³) = 0.3491 µF
3.直流モーター
答え: η = 82.25 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 120·10 = 1200 W
Pdev = 105·10 = 1050 W
Pout = 1050 − 63 = 987 W
効率
η = 987/1200·100 = 82.25 %
4.直流モーター
答え: D = 36.45 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 1.2·62.83 + 6·0.8 = 80.2 V
5.交流電力と力率
答え: X = 23.41 Ω
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
有効電力からの抵抗
R = P/I² = 1121/6.5² = 26.53 Ω
インピーダンスからのリアクタンス
|Z| = V/I = 230/6.5 = 35.38 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(35.38² − 26.53²) = 23.41 Ω
6.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.9909
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 27·tan(arccos 0.8) = 20.25 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·330·10⁻⁶ = 16588 var = 16.59 kvar
Q2 = 20.25 − 16.59 = 3.662 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(27² + 3.662²) = 27.25 kVA
新しい力率
cos φ = P/S2 = 27/27.25 = 0.9909
7.三相電力
答え: IL = 136.7 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 90/0.88 = 102.3 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 102273/(√3·480·0.9) = 136.7 A
8.三相電力
答え: QC = 42.02 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 50·tan(acos 0.65) = 50·1.169 = 58.46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 42.02 kvar