パワーエレクトロニクスと電動機駆動：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

DC-DC コンバータ

降圧形: V_o = D·V_in
昇圧形: V_o = V_in/(1 − D)
反転形昇降圧: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想的な電力の釣り合い: V_inI_in = V_oI_o
インダクタのリプル: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
インダクタ電流の平均値: 降圧形 I_o；昇圧形と昇降圧形 I_o/(1 − D)
出力リプル: 降圧形 ΔI_L/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 I_o·D/(fC)
CCM の境界: 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)

解き方

電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔI_L = V_L·D/(L·f) を求めます。
出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔI_L/2 とおきます。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

2演習問題

1.DC-DC コンバータふつう

理想的な降圧形コンバータが、500 kHz、L = 68 µH で 12 V を 7.2 V に変換します。インダクタのピーク間リプル電流 ΔI_L を求めなさい。

Vin = 12 VVo = 7.2 Vf = 500 kHzL = 68 µH

ΔI_L = A

2.DC-DC コンバータむずかしい

降圧コンバータが、250 kHz、L = 150 µH で 12 V を 7.2 V に変換します。連続導通を保てる最小の負荷電流 I_o,min を求めなさい。

Vin = 12 VVo = 7.2 Vf = 250 kHzL = 150 µH

I_o,min = A

3.直流モーターふつう

直流モーターが 120 V の電源から 6 A を引き込みます。電機子抵抗は 2 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 32 W です。効率 η を求めなさい。

V = 120 VI_a = 6 AR_a = 2 ΩP_rot = 32 W

η = %

4.直流モーターむずかしい

k = 0.5 V·s/rad、R_a = 1 Ω の直流モーターが、800 rpm で 6 N·m の負荷を駆動しなければなりません。必要な電機子電圧 V を求めなさい。

k = 0.5 V·s/radR_a = 1 ΩT = 6 N·mn = 800 rpm

V = V

5.交流電力と力率ふつう

インピーダンス Z = 12 + j9 Ω の負荷が 240 V（実効値）の単相電源に接続されている。負荷が消費する有効電力 P を求めよ。

V = 240 VZ = 12 + j9 Ω

P = W

6.交流電力と力率むずかしい

75 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.7 で 28 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 75 kVAP₁ = 28 kWpf₁ = 0.7

ΔP = kW

7.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 690 V の電源から線電流 20 A を流している。力率は遅れ 0.7 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 690 VI_L = 20 Acos φ = 0.7

P = kW

8.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 60 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3溶液

1.DC-DC コンバータ

答え: ΔI_L = 0.08471 A

DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 V_o = D·V_in、昇圧形 V_o = V_in/(1 − D)、反転形昇降圧 |V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：V_in·I_in = V_o·I_o。S がオンの間、インダクタ電流は ΔI_L = V_L·D·T/L だけ増加します。V_L は、降圧形では V_in − V_o、昇圧形と昇降圧形では V_in です。出力リプルは、降圧形では ΔV_o = ΔI_L/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では I_o·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔI_L/2 に等しいときです。

デューティ比

D = 7.2/12 = 0.6

オン時間中のインダクタ電圧

S がオンの間、インダクタは V_in と V_o の間につながれます。

V_L = 12 − 7.2 = 4.8 V

リプル電流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 4.8·0.6/(68·10⁻⁶·500·10³) = 0.08471 A

答え

ΔI_L = 0.08471 A

2.DC-DC コンバータ

答え: I_o,min = 0.0384 A

デューティ比

D = 7.2/12 = 0.6

リプル電流

ΔI_L = 7.2·0.4/(150·10⁻⁶·250·10³) = 0.0768 A

境界での負荷電流

I_o,min = ΔI_L/2 = 0.0384 A

答え

I_o,min = 0.0384 A

この電流より小さくなると、コンバータは不連続導通に入り、V_o は D·V_in を超えて上昇します。

3.直流モーター

答え: η = 85.56 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電力

P_in = 120·6 = 720 W

P_dev = 108·6 = 648 W

P_out = 648 − 32 = 616 W

効率

η = 616/720·100 = 85.56 %

答え

η = 85.56 %

4.直流モーター

答え: V = 53.89 V

逆起電力

E = 0.5·83.78 = 41.89 V

電機子電流

I_a = 6/0.5 = 12 A

電機子電圧

V = 41.89 + 12·1 = 53.89 V

答え

V = 53.89 V

5.交流電力と力率

答え: P = 3072 W

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

電流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I = V/|Z| = 240/15 = 16 A

有効電力

P = I²·R = 16²·12 = 3072 W

答え

P = 3072 W

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 41.35 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 28·tan(arccos 0.7) = 28.57 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 28.57²) = 69.35 kW

追加できる有効電力

ΔP = 69.35 − 28 = 41.35 kW

答え

ΔP = 41.35 kW

7.三相電力

答え: P = 16.73 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·690·20 = 23.9 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 23.9·0.7 = 16.73 kW

答え

P = 16.73 kW

8.三相電力

答え: C_ph = 325.1 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 49.03 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 16343/(314.2·400²) = 325.1 µF

答え

C_ph = 325.1 µF

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