1公式と解法
DC-DC コンバータ
- 降圧形
- Vo = D·Vin
- 昇圧形
- Vo = Vin/(1 − D)
- 反転形昇降圧
- |Vo| = Vin·D/(1 − D)
- 理想的な電力の釣り合い
- VinIin = VoIo
- インダクタのリプル
- ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
- インダクタ電流の平均値
- 降圧形 Io；昇圧形と昇降圧形 Io/(1 − D)
- 出力リプル
- 降圧形 ΔIL/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 Io·D/(fC)
- CCM の境界
- 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)
解き方
- 電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
- インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
- スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔIL = VL·D/(L·f) を求めます。
- 出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔIL/2 とおきます。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
2演習問題
1.DC-DC コンバータふつう
理想的な反転形昇降圧コンバータが、200 kHz、L = 100 µH で 24 V を −56 V に変換します。インダクタのピーク間リプル電流 ΔIL を求めなさい。
Vin = 24 VVo = −56 Vf = 200 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.DC-DC コンバータむずかしい
理想的な 昇降圧形 コンバータが、25 kHz で 48 V を −112 V に変換し、負荷は 8 Ω です。出力コンデンサは 100 µF です。出力電圧のピーク間リプル ΔVo を mV で求めなさい。
Vin = 48 VVo = −112 Vf = 25 kHzC = 100 µFR = 8 Ω
ΔVo = mV
3.直流モーターふつう
直流モーターが 3000 rpm で機械的な電力 5.5 kW を出力します。軸トルク T を求めなさい。
P = 5.5 kWn = 3000 rpm
T = N·m
4.直流モーターむずかしい
他励直流モーター（全界磁で k = 0.5 V·s/rad、Ra = 1.2 Ω、V = 120 V）が、一定の負荷トルク 2 N·m を駆動しています。界磁磁束を全磁束の 85 % に減らします。新しい速度 n を求めなさい。
V = 120 Vk = 0.5 V·s/radRa = 1.2 ΩT = 2 N·mΦ = 85 %
n = rpm
5.交流電力と力率ふつう
2 つの負荷が 230 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.7 の 12 kW の負荷と、進み力率 0.9 の 12 kW の負荷。 電源から流れる全電流 I を求めよ。
V = 230 VP1 = 12 kW, pf1 = 0.7 遅れP2 = 12 kW, pf2 = 0.9 進み
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
230 V（実効値）、50 Hz の電源の内部インピーダンスは Zs = 8 + j10 Ω である。負荷インピーダンス ZL は自由に選べる。 負荷に供給できる最大の有効電力 Pmax を求めよ。
Vs = 230 V (rms)f = 50 HzZs = 8 + j10 Ω
Pmax = W
7.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 12 + j9 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 415 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 415 VZ = 12 + j9 Ω 1 相あたり
P = kW
8.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 75 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3溶液
1.DC-DC コンバータ
答え: ΔIL = 0.84 A
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
オン時間中のインダクタ電圧
S がオンの間、インダクタは Vin に直接つながれます。
リプル電流
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0.7/(100·10⁻⁶·200·10³) = 0.84 A
2.DC-DC コンバータ
答え: ΔVo = 3920 mV
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
出力リプル
ΔVo = 14·0.7/(25·10³·100·10⁻⁶) = 3920 mV
3.直流モーター
答え: T = 17.51 N·m
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
rad/s での角速度
ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
トルク
T = P/ω = 5500/314.2 = 17.51 N·m
4.直流モーター
答え: n = 2569 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
弱めたあとのモーター定数
k₂ = 0.85·0.5 = 0.425 V·s/rad
新しい速度
ω = (120 − 4.706·1.2)/0.425 = 269.1 rad/s → n = 2569 rpm
界磁弱めは、直流ドライブが基底速度より高い速度で運転する方法です。
5.交流電力と力率
答え: I = 108 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
各負荷の無効電力
遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。
Q1 = 12·tan(arccos 0.7) = 12.24 kvar
Q2 = −12·tan(arccos 0.9) = −5.812 kvar
合計
P = 12 + 12 = 24 kW
Q = 12.24 + (−5.812) = 6.431 kvar
S = √(24² + 6.431²) = 24.85 kVA
全電流
I = S/V = 24847/230 = 108 A
6.交流電力と力率
答え: Pmax = 1653 W
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
共役整合
負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。
最大電力
I = Vs/(2Rs) = 230/16 = 14.38 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 230²/(4·8) = 1653 W
7.三相電力
答え: P = 27.56 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電流
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 415/15 = 27.67 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·27.67²·12 = 27.56 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
8.三相電力
答え: Cph = 132.1 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 75·tan(acos 0.8) = 75·0.75 = 56.25 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.9) = 75·0.4843 = 36.32 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 19.93 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 400 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 6642/(314.2·400²) = 132.1 µF