1公式と解法
DC-DC コンバータ
- 降圧形
- Vo = D·Vin
- 昇圧形
- Vo = Vin/(1 − D)
- 反転形昇降圧
- |Vo| = Vin·D/(1 − D)
- 理想的な電力の釣り合い
- VinIin = VoIo
- インダクタのリプル
- ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
- インダクタ電流の平均値
- 降圧形 Io；昇圧形と昇降圧形 Io/(1 − D)
- 出力リプル
- 降圧形 ΔIL/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 Io·D/(fC)
- CCM の境界
- 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)
解き方
- 電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
- インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
- スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔIL = VL·D/(L·f) を求めます。
- 出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔIL/2 とおきます。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
2演習問題
1.DC-DC コンバータふつう
理想的な 昇圧形 コンバータが、250 kHz、L = 33 µH で 24 V を 96 V に変換します。インダクタのピーク間リプル電流 ΔIL を求めなさい。
Vin = 24 VVo = 96 Vf = 250 kHzL = 33 µH
ΔIL = A
2.DC-DC コンバータむずかしい
理想的な反転形昇降圧コンバータが、50 kHz で 12 V を −18 V に変換し、負荷は 12 Ω です。連続導通となる最小のインダクタンス Lcrit を求めなさい。
Vin = 12 VVo = −18 Vf = 50 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
3.直流モーターふつう
直流モーター（k = 0.5 N·m/A、Ra = 1 Ω）が 120 V で動作し、負荷トルク 7.5 N·m を駆動します。速度 n を rpm で求めなさい。
V = 120 Vk = 0.5 N·m/ARa = 1 ΩT = 7.5 N·m
n = rpm
4.直流モーターむずかしい
120 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.4 Ω です。始動電流を 40 A に制限する直列の始動抵抗 Rst を求めなさい。
V = 120 VRa = 0.4 ΩImax = 40 A
Rst = Ω
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 12 + j16 Ω の負荷が 230 V（実効値）の単相電源に接続されている。 負荷が消費する無効電力 Q を求めよ。
V = 230 VZ = 12 + j16 Ω
Q = var
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.8 で 2 kW を消費する。22 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。 電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。
P = 2 kWpf1 = 0.8V = 400 Vf = 50 HzC = 22 µF
cos φ =
7.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 12 + j5 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 400 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 400 VZ = 12 + j5 Ω 1 相あたり
P = kW
8.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 200 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 200 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3溶液
1.DC-DC コンバータ
答え: ΔIL = 2.182 A
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
オン時間中のインダクタ電圧
S がオンの間、インダクタは Vin に直接つながれます。
リプル電流
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0.75/(33·10⁻⁶·250·10³) = 2.182 A
2.DC-DC コンバータ
答え: Lcrit = 19.2 µH
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
境界条件
インダクタ電流の平均値をリプル電流の半分とおき、L について解きます。
臨界インダクタンス
Lcrit = (1 − 0.6)²·12/(250·10³) = 19.2 µH
3.直流モーター
答え: n = 2005 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電機子電流
Ia = T/k = 7.5/0.5 = 15 A
逆起電力と速度
E = 120 − 15·1 = 105 V
ω = E/k = 210 rad/s → n = 2005 rpm
4.直流モーター
答え: Rst = 2.6 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。
5.交流電力と力率
答え: Q = 2116 var
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
I = V/|Z| = 230/20 = 11.5 A
無効電力
Q = I²·X = 11.5²·16 = 2116 var
6.交流電力と力率
答え: cos φ = 0.9811
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = 2·tan(arccos 0.8) = 1.5 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·22·10⁻⁶ = 1106 var = 1.106 kvar
Q2 = 1.5 − 1.106 = 0.3942 kvar
新しい皮相電力
S2 = √(2² + 0.3942²) = 2.038 kVA
新しい力率
cos φ = P/S2 = 2/2.038 = 0.9811
7.三相電力
答え: P = 34.08 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電流
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 400/13 = 30.77 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·30.77²·12 = 34.08 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.9231 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
8.三相電力
答え: Cph = 411.3 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 200·tan(acos 0.7) = 200·1.02 = 204 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 107.2 kvar
1 相あたりの静電容量
Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。
V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 35725/(377·480²) = 411.3 µF