1公式と解法
DC-DC コンバータ
- 降圧形
- Vo = D·Vin
- 昇圧形
- Vo = Vin/(1 − D)
- 反転形昇降圧
- |Vo| = Vin·D/(1 − D)
- 理想的な電力の釣り合い
- VinIin = VoIo
- インダクタのリプル
- ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
- インダクタ電流の平均値
- 降圧形 Io；昇圧形と昇降圧形 Io/(1 − D)
- 出力リプル
- 降圧形 ΔIL/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 Io·D/(fC)
- CCM の境界
- 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)
解き方
- 電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
- インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
- スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔIL = VL·D/(L·f) を求めます。
- 出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔIL/2 とおきます。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
2演習問題
1.DC-DC コンバータふつう
理想的な 降圧形 コンバータが、500 kHz、L = 150 µH で 24 V を 9.6 V に変換します。インダクタのピーク間リプル電流 ΔIL を求めなさい。
Vin = 24 VVo = 9.6 Vf = 500 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.DC-DC コンバータむずかしい
降圧コンバータが、200 kHz、L = 22 µH で 36 V を 9 V に変換します。連続導通を保てる最小の負荷電流 Io,min を求めなさい。
Vin = 36 VVo = 9 Vf = 200 kHzL = 22 µH
Io,min = A
3.直流モーターふつう
直流モーター（k = 0.08 N·m/A、Ra = 1 Ω）が 24 V で動作し、負荷トルク 0.16 N·m を駆動します。速度 n を rpm で求めなさい。
V = 24 Vk = 0.08 N·m/ARa = 1 ΩT = 0.16 N·m
n = rpm
4.直流モーターむずかしい
120 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.4 Ω です。始動電流を 15 A に制限する直列の始動抵抗 Rst を求めなさい。
V = 120 VRa = 0.4 ΩImax = 15 A
Rst = Ω
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 240 V の電源から、遅れ力率 0.7 で 31 kW を消費する。 モーターの無効電力 Q を求めよ。
P = 31 kWpf = 0.7V = 240 V
Q = kvar
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.6 で 20 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 新しい線電流 Inew を求めよ。
P = 20 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.三相電力ふつう
1 相あたりのインピーダンスが 18 + j24 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 415 V の平衡三相電源に接続されている。 負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。
VL = 415 VZ = 18 + j24 Ω 1 相あたり
P = kW
8.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 80 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3溶液
1.DC-DC コンバータ
答え: ΔIL = 0.0768 A
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
オン時間中のインダクタ電圧
S がオンの間、インダクタは Vin と Vo の間につながれます。
リプル電流
ΔIL = VL·D/(L·f) = 14.4·0.4/(150·10⁻⁶·500·10³) = 0.0768 A
2.DC-DC コンバータ
答え: Io,min = 0.767 A
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
リプル電流
ΔIL = 9·0.75/(22·10⁻⁶·200·10³) = 1.534 A
この電流より小さくなると、コンバータは不連続導通に入り、Vo は D·Vin を超えて上昇します。
3.直流モーター
答え: n = 2626 rpm
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電機子電流
Ia = T/k = 0.16/0.08 = 2 A
逆起電力と速度
E = 24 − 2·1 = 22 V
ω = E/k = 275 rad/s → n = 2626 rpm
4.直流モーター
答え: Rst = 7.6 Ω
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。
5.交流電力と力率
答え: Q = 31.63 kvar
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
位相角
φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02
無効電力
Q = P·tan φ = 31·1.02 = 31.63 kvar
6.交流電力と力率
答え: Inew = 54.35 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53.13°) = 26.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(23.07°) = 8.52 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.15 kvar
新しい線電流
Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(400·0.92) = 54.35 A
7.三相電力
答え: P = 3.445 kW
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
相電流
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 239.6/30 = 7.987 A
全有効電力
有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。
P = 3·Iph²·R = 3·7.987²·18 = 3.445 kW
確認：cos φ = R/|Z| = 0.6 で、√3·VL·IL·cos φ からも同じ電力が得られます。
8.三相電力
答え: QC = 38.36 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 80·tan(acos 0.72) = 80·0.9639 = 77.11 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 38.36 kvar