パワーエレクトロニクスと電動機駆動：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

DC-DC コンバータ

降圧形: V_o = D·V_in
昇圧形: V_o = V_in/(1 − D)
反転形昇降圧: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想的な電力の釣り合い: V_inI_in = V_oI_o
インダクタのリプル: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
インダクタ電流の平均値: 降圧形 I_o；昇圧形と昇降圧形 I_o/(1 − D)
出力リプル: 降圧形 ΔI_L/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 I_o·D/(fC)
CCM の境界: 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)

解き方

電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔI_L = V_L·D/(L·f) を求めます。
出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔI_L/2 とおきます。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

2演習問題

1.DC-DC コンバータふつう

理想的な昇圧コンバータが 36 V を 90 V に変換し、負荷は 25 Ω です。インダクタ電流の平均値 I_L を求めなさい。

Vin = 36 VVo = 90 VR = 25 Ω

I_L = A

2.DC-DC コンバータむずかしい

降圧コンバータが、40 kHz、L = 10 µH で 12 V を 4.8 V に変換します。連続導通を保てる最小の負荷電流 I_o,min を求めなさい。

Vin = 12 VVo = 4.8 Vf = 40 kHzL = 10 µH

I_o,min = A

3.直流モーターふつう

直流モーター（k = 0.75 V·s/rad、R_a = 2 Ω）が 110 V で動作します。全負荷時に 6 A が流れます。無負荷電流を無視して、速度変動率 SR = (n₀ − n_FL)/n_FL を百分率で求めなさい。

V = 110 Vk = 0.75 V·s/radR_a = 2 ΩI_FL = 6 A

SR = %

4.直流モーターむずかしい

小型の直流モーターの電機子抵抗は 1.2 Ω で、24 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 P_max を求めなさい。

V = 24 VR_a = 1.2 Ω

P_max = W

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.7 で 5 kW を消費する。モーターの無効電力 Q を求めよ。

P = 5 kWpf = 0.7V = 400 V

Q = kvar

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 10 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 10 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.9V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 150 A を流している。力率は遅れ 0.95 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 150 Acos φ = 0.95

P = kW

8.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 300 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 300 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3溶液

1.DC-DC コンバータ

答え: I_L = 9 A

DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 V_o = D·V_in、昇圧形 V_o = V_in/(1 − D)、反転形昇降圧 |V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：V_in·I_in = V_o·I_o。S がオンの間、インダクタ電流は ΔI_L = V_L·D·T/L だけ増加します。V_L は、降圧形では V_in − V_o、昇圧形と昇降圧形では V_in です。出力リプルは、降圧形では ΔV_o = ΔI_L/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では I_o·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔI_L/2 に等しいときです。

デューティ比

D = 1 − 36/90 = 0.6

負荷電流

I_o = 90/25 = 3.6 A

インダクタ電流

I_L = I_o/(1 − D) = 3.6/0.4 = 9 A

答え

I_L = 9 A

2.DC-DC コンバータ

答え: I_o,min = 3.6 A

デューティ比

D = 4.8/12 = 0.4

リプル電流

ΔI_L = 4.8·0.6/(10·10⁻⁶·40·10³) = 7.2 A

境界での負荷電流

I_o,min = ΔI_L/2 = 3.6 A

答え

I_o,min = 3.6 A

この電流より小さくなると、コンバータは不連続導通に入り、V_o は D·V_in を超えて上昇します。

3.直流モーター

答え: SR = 12.24 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度と全負荷速度

n₀ = 60·110/(2π·0.75) = 1401 rpm

n_FL = 60·(110 − 6·2)/(2π·0.75) = 1248 rpm

速度変動率

SR = (1401 − 1248)/1248·100 = 12.24 %

答え

SR = 12.24 %

4.直流モーター

答え: P_max = 120 W

逆起電力の関数としての電力

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

最大電力

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·1.2) = 120 W

答え

P_max = 120 W

この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。

5.交流電力と力率

答え: Q = 5.101 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

位相角

φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02

無効電力

Q = P·tan φ = 5·1.02 = 5.101 kvar

答え

Q = 5.101 kvar

6.交流電力と力率

答え: I_new = 46.3 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(45.57°) = 10.2 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(25.84°) = 4.843 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 5.359 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 10000/(240·0.9) = 46.3 A

答え

I_new = 46.3 A

7.三相電力

答え: P = 118.5 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·150 = 124.7 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 124.7·0.95 = 118.5 kW

答え

P = 118.5 kW

8.三相電力

答え: C_ph = 993.4 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 300·tan(acos 0.78) = 300·0.8023 = 240.7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 179.8 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 59922/(377·400²) = 993.4 µF

答え

C_ph = 993.4 µF

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