パワーエレクトロニクスと電動機駆動：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

DC-DC コンバータ

降圧形: V_o = D·V_in
昇圧形: V_o = V_in/(1 − D)
反転形昇降圧: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想的な電力の釣り合い: V_inI_in = V_oI_o
インダクタのリプル: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
インダクタ電流の平均値: 降圧形 I_o；昇圧形と昇降圧形 I_o/(1 − D)
出力リプル: 降圧形 ΔI_L/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 I_o·D/(fC)
CCM の境界: 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)

解き方

電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔI_L = V_L·D/(L·f) を求めます。
出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔI_L/2 とおきます。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

2演習問題

1.DC-DC コンバータふつう

降圧コンバータが 36 V を 21.6 V に変換し、負荷は 10 Ω です。スイッチング周波数は 25 kHz、L = 220 µH です。インダクタ電流のピーク値 I_max を求めなさい。

Vin = 36 VVo = 21.6 Vf = 25 kHzL = 220 µHR = 10 Ω

I_max = A

2.DC-DC コンバータむずかしい

理想的な反転形昇降圧コンバータが、500 kHz で 36 V を −54 V に変換し、負荷は 50 Ω です。連続導通となる最小のインダクタンス L_crit を求めなさい。

Vin = 36 VVo = −54 Vf = 500 kHzR = 50 Ω

L_crit = µH

3.直流モーターふつう

直流モーターが 220 V の電源から 30 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.25 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 191 W です。効率 η を求めなさい。

V = 220 VI_a = 30 AR_a = 0.25 ΩP_rot = 191 W

η = %

4.直流モーターむずかしい

直流チョッパが、240 V の直流母線からモーター（k = 1.5 V·s/rad、R_a = 1 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·240 V です。負荷 22.5 N·m で 750 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。

V_dc = 240 Vk = 1.5 V·s/radR_a = 1 ΩT = 22.5 N·mn = 750 rpm

D = %

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 12.5 A と 2156 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。

V = 230 VI = 12.5 AP = 2156 W

X = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から、遅れ力率 0.7 で 11 kW を消費する。150 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。新しい線電流 I を求めよ。

P = 11 kWpf₁ = 0.7V = 240 Vf = 50 HzC = 150 µF

I = A

7.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 208 V の電源から線電流 75 A を流している。力率は遅れ 0.88 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 208 VI_L = 75 Acos φ = 0.88

P = kW

8.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、480 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 50 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 50 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.92V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3溶液

1.DC-DC コンバータ

答え: I_max = 2.945 A

DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 V_o = D·V_in、昇圧形 V_o = V_in/(1 − D)、反転形昇降圧 |V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：V_in·I_in = V_o·I_o。S がオンの間、インダクタ電流は ΔI_L = V_L·D·T/L だけ増加します。V_L は、降圧形では V_in − V_o、昇圧形と昇降圧形では V_in です。出力リプルは、降圧形では ΔV_o = ΔI_L/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では I_o·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔI_L/2 に等しいときです。

デューティ比

D = 21.6/36 = 0.6

平均電流とリプル電流

I_o = 21.6/10 = 2.16 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 14.4·0.6/(220·10⁻⁶·25·10³) = 1.571 A

ピーク電流

I_max = 2.16 + 1.571/2 = 2.945 A

答え

I_max = 2.945 A

2.DC-DC コンバータ

答え: L_crit = 8 µH

デューティ比

D = 54/(36 + 54) = 0.6

境界条件

インダクタ電流の平均値をリプル電流の半分とおき、L について解きます。

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

臨界インダクタンス

L_crit = (1 − 0.6)²·50/(2500·10³) = 8 µH

答え

L_crit = 8 µH

3.直流モーター

答え: η = 93.7 %

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電力

P_in = 220·30 = 6600 W

P_dev = 212.5·30 = 6375 W

P_out = 6375 − 191 = 6184 W

効率

η = 6184/6600·100 = 93.7 %

答え

η = 93.7 %

4.直流モーター

答え: D = 55.34 %

必要な電機子電圧

V_a = 1.5·78.54 + 15·1 = 132.8 V

デューティ比

D = 132.8/240 = 55.34 %

答え

D = 55.34 %

5.交流電力と力率

答え: X = 12.17 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 2156/12.5² = 13.8 Ω

インピーダンスからのリアクタンス

|Z| = V/I = 230/12.5 = 18.4 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(18.4² − 13.8²) = 12.17 Ω

答え

X = 12.17 Ω

6.交流電力と力率

答え: I = 57.94 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = 11·tan(arccos 0.7) = 11.22 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·150·10⁻⁶ = 2714 var = 2.714 kvar

Q₂ = 11.22 − 2.714 = 8.508 kvar

新しい皮相電力

S₂ = √(11² + 8.508²) = 13.91 kVA

新しい線電流

I = S₂/V = 13906/240 = 57.94 A

答え

I = 57.94 A

7.三相電力

答え: P = 23.78 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·208·75 = 27.02 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 27.02·0.88 = 23.78 kW

答え

P = 23.78 kW

8.三相電力

答え: Q_C = 26.89 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 50·tan(acos 0.72) = 50·0.9639 = 48.19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.92) = 50·0.426 = 21.3 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26.89 kvar

答え

Q_C = 26.89 kvar

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