パワーエレクトロニクスと電動機駆動：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

DC-DC コンバータ

降圧形: V_o = D·V_in
昇圧形: V_o = V_in/(1 − D)
反転形昇降圧: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想的な電力の釣り合い: V_inI_in = V_oI_o
インダクタのリプル: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
インダクタ電流の平均値: 降圧形 I_o；昇圧形と昇降圧形 I_o/(1 − D)
出力リプル: 降圧形 ΔI_L/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 I_o·D/(fC)
CCM の境界: 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)

解き方

電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔI_L = V_L·D/(L·f) を求めます。
出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔI_L/2 とおきます。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

2演習問題

1.DC-DC コンバータふつう

理想的な降圧形コンバータが、500 kHz、L = 10 µH で 24 V を 16.8 V に変換します。インダクタのピーク間リプル電流 ΔI_L を求めなさい。

Vin = 24 VVo = 16.8 Vf = 500 kHzL = 10 µH

ΔI_L = A

2.DC-DC コンバータむずかしい

降圧コンバータが 15 V を 4.5 V に変換し、負荷は 4 Ω、周波数は 200 kHz、L = 150 µH、C = 47 µF です。出力電圧のピーク間リプル ΔV_o を mV で求めなさい。

Vin = 15 VVo = 4.5 Vf = 200 kHzL = 150 µHC = 47 µF

ΔV_o = mV

3.直流モーターふつう

直流モーター（k = 0.15 N·m/A、R_a = 0.25 Ω）が 24 V で動作し、負荷トルク 0.75 N·m を駆動します。速度 n を rpm で求めなさい。

V = 24 Vk = 0.15 N·m/AR_a = 0.25 ΩT = 0.75 N·m

n = rpm

4.直流モーターむずかしい

k = 1 V·s/rad、R_a = 1.5 Ω の直流モーターが、750 rpm で 6 N·m の負荷を駆動しなければなりません。必要な電機子電圧 V を求めなさい。

k = 1 V·s/radR_a = 1.5 ΩT = 6 N·mn = 750 rpm

V = V

5.交流電力と力率ふつう

2 つの負荷が 230 V の単相電源に並列に接続されている：遅れ力率 0.7 の 25 kW の負荷と、進み力率 0.85 の 11 kW の負荷。電源から流れる全電流 I を求めよ。

V = 230 VP₁ = 25 kW, pf₁ = 0.7 遅れP₂ = 11 kW, pf₂ = 0.85 進み

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 400 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 20 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。コンデンサが供給すべき無効電力 Q_C を求めよ。

P = 20 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 10 A を流している。力率は遅れ 0.9 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 10 Acos φ = 0.9

P = kW

8.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 60 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3溶液

1.DC-DC コンバータ

答え: ΔI_L = 1.008 A

DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 V_o = D·V_in、昇圧形 V_o = V_in/(1 − D)、反転形昇降圧 |V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：V_in·I_in = V_o·I_o。S がオンの間、インダクタ電流は ΔI_L = V_L·D·T/L だけ増加します。V_L は、降圧形では V_in − V_o、昇圧形と昇降圧形では V_in です。出力リプルは、降圧形では ΔV_o = ΔI_L/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では I_o·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔI_L/2 に等しいときです。

デューティ比

D = 16.8/24 = 0.7

オン時間中のインダクタ電圧

S がオンの間、インダクタは V_in と V_o の間につながれます。

V_L = 24 − 16.8 = 7.2 V

リプル電流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 7.2·0.7/(10·10⁻⁶·500·10³) = 1.008 A

答え

ΔI_L = 1.008 A

2.DC-DC コンバータ

答え: ΔV_o = 1.396 mV

デューティ比

D = 4.5/15 = 0.3

インダクタのリプル電流

ΔI_L = (15 − 4.5)·0.3/(150·10⁻⁶·200·10³) = 0.105 A

出力リプル

ΔV_o = 0.105/(8·200·10³·47·10⁻⁶) = 1.396 mV

答え

ΔV_o = 1.396 mV

3.直流モーター

答え: n = 1448 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

電機子電流

I_a = T/k = 0.75/0.15 = 5 A

逆起電力と速度

E = 24 − 5·0.25 = 22.75 V

ω = E/k = 151.7 rad/s → n = 1448 rpm

答え

n = 1448 rpm

4.直流モーター

答え: V = 87.54 V

逆起電力

E = 1·78.54 = 78.54 V

電機子電流

I_a = 6/1 = 6 A

電機子電圧

V = 78.54 + 6·1.5 = 87.54 V

答え

V = 87.54 V

5.交流電力と力率

答え: I = 176.4 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

各負荷の無効電力

遅れ負荷は無効電力を消費し（Q > 0）、進み負荷は無効電力を供給します（Q < 0）。

Q₁ = 25·tan(arccos 0.7) = 25.51 kvar

Q₂ = −11·tan(arccos 0.85) = −6.817 kvar

合計

P = 25 + 11 = 36 kW

Q = 25.51 + (−6.817) = 18.69 kvar

S = √(36² + 18.69²) = 40.56 kVA

全電流

I = S/V = 40562/230 = 176.4 A

答え

I = 176.4 A

6.交流電力と力率

答え: Q_C = 11.88 kvar

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(45.57°) = 20.4 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(23.07°) = 8.52 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 11.88 kvar

答え

Q_C = 11.88 kvar

7.三相電力

答え: P = 7.482 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·10 = 8.314 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 8.314·0.9 = 7.482 kW

答え

P = 7.482 kW

8.三相電力

答え: Q_C = 41.09 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 60·tan(acos 0.65) = 60·1.169 = 70.15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.9) = 60·0.4843 = 29.06 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 41.09 kvar

答え

Q_C = 41.09 kvar

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