1公式と解法
DC-DC コンバータ
- 降圧形
- Vo = D·Vin
- 昇圧形
- Vo = Vin/(1 − D)
- 反転形昇降圧
- |Vo| = Vin·D/(1 − D)
- 理想的な電力の釣り合い
- VinIin = VoIo
- インダクタのリプル
- ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
- インダクタ電流の平均値
- 降圧形 Io；昇圧形と昇降圧形 Io/(1 − D)
- 出力リプル
- 降圧形 ΔIL/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 Io·D/(fC)
- CCM の境界
- 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)
解き方
- 電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
- インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
- スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔIL = VL·D/(L·f) を求めます。
- 出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔIL/2 とおきます。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
2演習問題
1.DC-DC コンバータふつう
降圧コンバータが 15 V を 6 V に変換し、負荷は 20 Ω です。スイッチング周波数は 200 kHz、L = 220 µH です。インダクタ電流のピーク値 Imax を求めなさい。
Vin = 15 VVo = 6 Vf = 200 kHzL = 220 µHR = 20 Ω
Imax = A
2.DC-DC コンバータむずかしい
降圧コンバータが、200 kHz、L = 33 µH で 15 V を 9 V に変換します。出力のピーク間リプルを 50 mV に抑える出力容量 C を求めなさい。
Vin = 15 VVo = 9 Vf = 200 kHzL = 33 µHΔVo = 50 mV
C = µF
3.直流モーターふつう
直流モーターが 220 V の電源から 15 A を引き込みます。電機子抵抗は 1.2 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 242 W です。効率 η を求めなさい。
V = 220 VIa = 15 ARa = 1.2 ΩProt = 242 W
η = %
4.直流モーターむずかしい
小型の直流モーターの電機子抵抗は 0.5 Ω で、120 V で動作します。回転損を無視して、どの速度でも発生できる最大の機械的電力 Pmax を求めなさい。
V = 120 VRa = 0.5 Ω
Pmax = W
5.交流電力と力率ふつう
単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.9 で 23 kW を消費する。 線電流 I を求めよ。
P = 23 kWpf = 0.9V = 400 V
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 50 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 新しい線電流 Inew を求めよ。
P = 50 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92V = 230 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 22 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.85 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 22 kWη = 88%cos φ = 0.85VL = 480 V
IL = A
8.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。
P = 100 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3溶液
1.DC-DC コンバータ
答え: Imax = 0.3409 A
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
平均電流とリプル電流
Io = 6/20 = 0.3 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0.4/(220·10⁻⁶·200·10³) = 0.08182 A
ピーク電流
Imax = 0.3 + 0.08182/2 = 0.3409 A
2.DC-DC コンバータ
答え: C = 6.818 µF
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
インダクタのリプル電流
ΔIL = (15 − 9)·0.6/(33·10⁻⁶·200·10³) = 0.5455 A
静電容量
C = 0.5455/(8·200·10³·50·10⁻³) = 6.818 µF
3.直流モーター
答え: η = 84.48 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 220·15 = 3300 W
Pdev = 202·15 = 3030 W
Pout = 3030 − 242 = 2788 W
効率
η = 2788/3300·100 = 84.48 %
4.直流モーター
答え: Pmax = 7200 W
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
逆起電力の関数としての電力
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
最大電力
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·0.5) = 7200 W
この点での効率はわずか 50 % なので、実際のモーターは半分の速度よりずっと高い速度で運転されます。
5.交流電力と力率
答え: I = 63.89 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
線電流
仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。
I = P/(V·cos φ) = 23000/(400·0.9) = 63.89 A
6.交流電力と力率
答え: Inew = 236.3 A
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(36.87°) = 37.5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23.07°) = 21.3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16.2 kvar
新しい線電流
Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(230·0.92) = 236.3 A
7.三相電力
答え: IL = 35.38 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 22/0.88 = 25 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 25000/(√3·480·0.85) = 35.38 A
8.三相電力
答え: Cph = 852.1 µF
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.75) = 100·0.8819 = 88.19 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 55.32 kvar
1 相あたりの静電容量
Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。
V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 18441/(377·239.6²) = 852.1 µF