1公式と解法
DC-DC コンバータ
- 降圧形
- Vo = D·Vin
- 昇圧形
- Vo = Vin/(1 − D)
- 反転形昇降圧
- |Vo| = Vin·D/(1 − D)
- 理想的な電力の釣り合い
- VinIin = VoIo
- インダクタのリプル
- ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
- インダクタ電流の平均値
- 降圧形 Io；昇圧形と昇降圧形 Io/(1 − D)
- 出力リプル
- 降圧形 ΔIL/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 Io·D/(fC)
- CCM の境界
- 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)
解き方
- 電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
- インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
- スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔIL = VL·D/(L·f) を求めます。
- 出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔIL/2 とおきます。
直流モーター
- 電機子回路
- V = E + IaRa
- 逆起電力とトルク
- E = k·ω, T = k·Ia
- 速さ
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 無負荷速度と拘束トルク
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 電力
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 始動
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 速度変動率
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 最大発生電力
- Pmax = V²/(4Ra)
- チョッパ駆動
- Va = D·Vdc
解き方
- 電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 Ra、逆起電力 E が直列につながります。
- 電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + Ia·Ra を使います。
- 速度には E = k·ω、トルクには T = k·Ia を使います。ω = 2π·n/60 です。
- 電力と効率では、V·Ia から始めて、銅損 Ia²·Ra を引き、次に回転損を引きます。
交流電力と力率
- 有効電力
- P = V·I·cos φ
- 無効電力
- Q = V·I·sin φ
- 皮相電力
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 力率
- pf = cos φ = P/S
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
三相電力
- Y 結線
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 結線
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 全有効電力
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 皮相電力と無効電力
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 力率改善用コンデンサ
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 各コンデンサにかかる電圧
- Δ：VL Y：VL/√3
- モーターの入力
- Pin = Pout/η
2演習問題
1.DC-DC コンバータふつう
降圧コンバータが 36 V を 14.4 V に変換し、負荷は 10 Ω です。スイッチング周波数は 40 kHz、L = 100 µH です。インダクタ電流のピーク値 Imax を求めなさい。
Vin = 36 VVo = 14.4 Vf = 40 kHzL = 100 µHR = 10 Ω
Imax = A
2.DC-DC コンバータむずかしい
理想的な反転形昇降圧コンバータが、40 kHz で 24 V を −72 V に変換し、負荷は 2 Ω です。連続導通となる最小のインダクタンス Lcrit を求めなさい。
Vin = 24 VVo = −72 Vf = 40 kHzR = 2 Ω
Lcrit = µH
3.直流モーターふつう
直流モーターが 240 V の電源から 30 A を引き込みます。電機子抵抗は 0.8 Ω、回転損（摩擦損、風損、鉄損）は 324 W です。効率 η を求めなさい。
V = 240 VIa = 30 ARa = 0.8 ΩProt = 324 W
η = %
4.直流モーターむずかしい
直流チョッパが、120 V の直流母線からモーター（k = 1 V·s/rad、Ra = 1 Ω）に給電します。電機子の平均電圧は D·120 V です。負荷 8 N·m で 750 rpm の運転となるデューティ比 D を求めなさい。
Vdc = 120 Vk = 1 V·s/radRa = 1 ΩT = 8 N·mn = 750 rpm
D = %
5.交流電力と力率ふつう
インピーダンス Z = 8 + j6 Ω の負荷が 120 V（実効値）の単相電源に接続されている。 負荷が消費する無効電力 Q を求めよ。
V = 120 VZ = 8 + j6 Ω
Q = var
6.交流電力と力率むずかしい
単相負荷が 400 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 10 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.95 に改善する。 必要な静電容量 C を求めよ。
P = 10 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.三相電力ふつう
三相誘導電動機が全負荷で 75 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 92%、力率は遅れ 0.82 である。電源の線間電圧は 415 V である。線電流 IL を求めよ。
Pout = 75 kWη = 92%cos φ = 0.82VL = 415 V
IL = A
8.三相電力むずかしい
平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。
P = 100 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3溶液
1.DC-DC コンバータ
答え: Imax = 2.52 A
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
平均電流とリプル電流
Io = 14.4/10 = 1.44 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 21.6·0.4/(100·10⁻⁶·40·10³) = 2.16 A
ピーク電流
Imax = 1.44 + 2.16/2 = 2.52 A
2.DC-DC コンバータ
答え: Lcrit = 1.563 µH
DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 Vo = D·Vin、昇圧形 Vo = Vin/(1 − D)、反転形昇降圧 |Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：Vin·Iin = Vo·Io。S がオンの間、インダクタ電流は ΔIL = VL·D·T/L だけ増加します。VL は、降圧形では Vin − Vo、昇圧形と昇降圧形では Vin です。出力リプルは、降圧形では ΔVo = ΔIL/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では Io·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔIL/2 に等しいときです。
境界条件
インダクタ電流の平均値をリプル電流の半分とおき、L について解きます。
臨界インダクタンス
Lcrit = (1 − 0.75)²·2/(240·10³) = 1.563 µH
3.直流モーター
答え: η = 85.5 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
電力
Pin = 240·30 = 7200 W
Pdev = 216·30 = 6480 W
Pout = 6480 − 324 = 6156 W
効率
η = 6156/7200·100 = 85.5 %
4.直流モーター
答え: D = 72.12 %
直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 Ra と見なせるので、V = E + Ia·Ra です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·Ia となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·Ia = T·ω です。入力電力は V·Ia で、その差は銅損 Ia²Ra と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − Ra·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/Ra で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/Ra は大きくなります。
必要な電機子電圧
Va = 1·78.54 + 8·1 = 86.54 V
5.交流電力と力率
答え: Q = 864 var
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
電流
|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 120/10 = 12 A
無効電力
Q = I²·X = 12²·6 = 864 var
6.交流電力と力率
答え: C = 114.6 µF
交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。
改善前後の無効電力
有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(45.57°) = 10.2 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(18.19°) = 3.287 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6.915 kvar
静電容量
電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。
C = QC/(2πf·V²) = 6915/(2π·60·400²) = 114.6 µF
7.三相電力
答え: IL = 138.3 A
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。
電気入力
Pin = Pout/η = 75/0.92 = 81.52 kW
線電流
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 81522/(√3·415·0.82) = 138.3 A
8.三相電力
答え: QC = 69.15 kvar
平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。
改善前後の無効電力
有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。
Q1 = 100·tan(acos 0.7) = 100·1.02 = 102 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar
コンデンサが供給する無効電力
QC = Q1 − Q2 = 69.15 kvar