パワーエレクトロニクスと電動機駆動：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

DC-DC コンバータ

降圧形: V_o = D·V_in
昇圧形: V_o = V_in/(1 − D)
反転形昇降圧: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想的な電力の釣り合い: V_inI_in = V_oI_o
インダクタのリプル: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
インダクタ電流の平均値: 降圧形 I_o；昇圧形と昇降圧形 I_o/(1 − D)
出力リプル: 降圧形 ΔI_L/(8fC)；昇圧形と昇降圧形 I_o·D/(fC)
CCM の境界: 降圧形 (1 − D)R/(2f)；昇圧形 D(1 − D)²R/(2f)；昇降圧形 (1 − D)²R/(2f)

解き方

電圧比から、コンバータの種類（降圧、昇圧、昇降圧）とデューティ比 D を判断します。
インダクタのボルト秒平衡を使いましょう：1 周期にわたるインダクタの平均電圧は 0 です。
スイッチがオンの間のインダクタ電圧を求め、次に ΔI_L = V_L·D/(L·f) を求めます。
出力リプルでは、コンデンサに出入りする電荷を求めます。CCM の境界では、インダクタ電流の平均値を ΔI_L/2 とおきます。

直流モーター

電機子回路: V = E + I_aR_a
逆起電力とトルク: E = k·ω, T = k·I_a
速さ: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
無負荷速度と拘束トルク: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
電力: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
始動: I_start = V/(R_a + R_st)
速度変動率: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
最大発生電力: P_max = V²/(4R_a)
チョッパ駆動: V_a = D·V_dc

解き方

電機子回路を描きます：電源 V、抵抗 R_a、逆起電力 E が直列につながります。
電圧、電流、逆起電力を結びつけるには V = E + I_a·R_a を使います。
速度には E = k·ω、トルクには T = k·I_a を使います。ω = 2π·n/60 です。
電力と効率では、V·I_a から始めて、銅損 I_a²·R_a を引き、次に回転損を引きます。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

2演習問題

1.DC-DC コンバータふつう

降圧コンバータが 48 V を 14.4 V に変換し、負荷は 2.5 Ω です。スイッチング周波数は 500 kHz、L = 220 µH です。インダクタ電流のピーク値 I_max を求めなさい。

Vin = 48 VVo = 14.4 Vf = 500 kHzL = 220 µHR = 2.5 Ω

I_max = A

2.DC-DC コンバータむずかしい

理想的な昇圧形コンバータが、200 kHz で 24 V を 60 V に変換し、負荷は 4 Ω です。連続導通となる最小のインダクタンス L_crit を求めなさい。

Vin = 24 VVo = 60 Vf = 200 kHzR = 4 Ω

L_crit = µH

3.直流モーターふつう

k = 1.5 V·s/rad の直流モーターが 240 V で動作します。無負荷時の損失をすべて無視して、無負荷速度 n₀ を rpm で求めなさい。

V = 240 Vk = 1.5 V·s/rad

n₀ = rpm

4.直流モーターむずかしい

48 V の直流モーターの電機子抵抗は 0.8 Ω です。始動電流を 25 A に制限する直列の始動抵抗 R_st を求めなさい。

V = 48 VR_a = 0.8 ΩI_max = 25 A

R_st = Ω

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 240 V の電源から、遅れ力率 0.85 で 17 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 17 kWpf = 0.85V = 240 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 45 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.95 に改善する。コンデンサが供給すべき無効電力 Q_C を求めよ。

P = 45 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 24 + j18 Ω の平衡 Y 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VZ = 24 + j18 Ω 1 相あたり

P = kW

8.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 200 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 200 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.98V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3溶液

1.DC-DC コンバータ

答え: I_max = 5.806 A

DC-DC コンバータ：スイッチ S は、各周期 T = 1/f のうち割合 D だけオンになります。定常状態ではインダクタの平均電圧は 0 になり（ボルト秒平衡）、連続導通モードでの理想的な変換比が得られます：降圧形 V_o = D·V_in、昇圧形 V_o = V_in/(1 − D)、反転形昇降圧 |V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想的なコンバータでは電力が保存されます：V_in·I_in = V_o·I_o。S がオンの間、インダクタ電流は ΔI_L = V_L·D·T/L だけ増加します。V_L は、降圧形では V_in − V_o、昇圧形と昇降圧形では V_in です。出力リプルは、降圧形では ΔV_o = ΔI_L/(8fC)、昇圧形と昇降圧形では I_o·D/(fC) です。インダクタ電流がちょうど 0 に触れる（CCM の境界）のは、インダクタの平均電流が ΔI_L/2 に等しいときです。

デューティ比

D = 14.4/48 = 0.3

平均電流とリプル電流

I_o = 14.4/2.5 = 5.76 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 33.6·0.3/(220·10⁻⁶·500·10³) = 0.09164 A

ピーク電流

I_max = 5.76 + 0.09164/2 = 5.806 A

答え

I_max = 5.806 A

2.DC-DC コンバータ

答え: L_crit = 0.96 µH

デューティ比

D = 1 − 24/60 = 0.6

境界条件

インダクタ電流の平均値をリプル電流の半分とおき、L について解きます。

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

臨界インダクタンス

L_crit = 0.6(1 − 0.6)²·4/(2200·10³) = 0.96 µH

答え

L_crit = 0.96 µH

3.直流モーター

答え: n₀ = 1528 rpm

直流モーター：電機子は、逆起電力 E と直列の抵抗 R_a と見なせるので、V = E + I_a·R_a です。逆起電力は速度に比例して E = k·ω、トルクは電流に比例して T = k·I_a となり、SI 単位では同じモーター定数 k (V·s/rad = N·m/A) を使います。速度は ω = 2π·n/60 で換算します。発生電力は E·I_a = T·ω です。入力電力は V·I_a で、その差は銅損 I_a²R_a と回転損です。速度はトルクに対して直線的に下がり、ω = V/k − R_a·T/k² です。無負荷速度 V/k から、拘束トルク k·V/R_a で 0 になります。停止時には E = 0 なので、抵抗で制限しないかぎり始動電流 V/R_a は大きくなります。

無負荷速度

ω₀ = V/k = 240/1.5 = 160 rad/s

n₀ = 60·160/(2π) = 1528 rpm

答え

n₀ = 1528 rpm

4.直流モーター

答え: R_st = 1.12 Ω

全抵抗

R_a + R_st = 48/25 = 1.92 Ω

始動抵抗器

R_st = 1.92 − 0.8 = 1.12 Ω

答え

R_st = 1.12 Ω

抵抗器は、モーターが加速して逆起電力が大きくなるにつれて、段階的に切り離されます。

5.交流電力と力率

答え: I = 83.33 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 17000/(240·0.85) = 83.33 A

答え

I = 83.33 A

6.交流電力と力率

答え: Q_C = 37.82 kvar

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(49.46°) = 52.61 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(18.19°) = 14.79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 37.82 kvar

答え

Q_C = 37.82 kvar

7.三相電力

答え: P = 6.144 kW

相電圧

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

相電流

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 277.1/30 = 9.238 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·9.238²·24 = 6.144 kW

答え

P = 6.144 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

8.三相電力

答え: C_ph = 459.9 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 200·tan(acos 0.78) = 200·0.8023 = 160.5 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.98) = 200·0.2031 = 40.61 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 119.8 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 39948/(377·480²) = 459.9 µF

答え

C_ph = 459.9 µF

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