心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

同じ 25 人の参加者がカフェインの前と後に記憶テストを受けます。得点は間隔尺度でほぼ正規分布です。適切な検定はどれですか？

A対応のある t 検定
Bカイ二乗検定
Cマン・ホイットニーの U 検定
D対応のない t 検定

2.心理学研究法むずかしい

解釈的現象学的分析（IPA）の主な目的は何ですか？

A個人が自分自身の生きられた経験をどのように意味づけているかを探ること
B反応時間を正確に測ること
Cテキスト中の単語の頻度を数えること
D大きな標本で因果仮説を検証すること

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：24, 25, 49, 19, 27, 44。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 60、標準偏差 15 の正規分布に従います。69 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 15x = 69

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.35, 0.35, 0.2

Var(X) =

6.確率むずかしい

ゲームの参加費は €2 です。確率 0.3 で €10、確率 0.01 で €40 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €2€10: p = 0.3€40: p = 0.01

E(G) = €

7.正規分布ふつう

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 769.7 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769.7 g

P =

8.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：30 台、平均 51.5 h、既知の標準偏差 19 h。機種 2：80 台、平均 50 h、既知の標準偏差 13 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 30x̄₁ = 51.5 hσ₁ = 19 hn₂ = 80x̄₂ = 50 hσ₂ = 13 h99%

E = h

10.信頼区間むずかしい

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：8 区画、平均収量 52.5 kg、標準偏差 10 kg。区画群 2：18 区画、平均 42.5 kg、標準偏差 3.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 8x̄₁ = 52.5s₁ = 10n₂ = 18x̄₂ = 42.5s₂ = 3.590%t(24) = 1.711

下限 = kg

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 74.4、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 74.4s = 4n = 36

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 4E = 395%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (2.5, 41) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(2.5, 41)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 2402 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: A · 対応のある t 検定

これが答えになる理由

対応のある t 検定は、各人の中での差を使って、2 つの条件での同じ参加者の平均を比べます。

答え

A · 対応のある t 検定

2.心理学研究法

答え: A · 個人が自分自身の生きられた経験をどのように意味づけているかを探ること

これが答えになる理由

IPA は小さく均質な標本を深く研究し、参加者が重要な経験をどう解釈しているかを、研究者がその意味づけを解釈しながら検討します。

答え

A · 個人が自分自身の生きられた経験をどのように意味づけているかを探ること

3.記述統計

答え: s = 12.14

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 188/6 = 31.33

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−7.333)² + (−6.333)² + 17.67² + (−12.33)² + (−4.333)² + 12.67² = 737.3

標準偏差

s = √(737.3/5) = 12.14

答え

s = 12.14

4.記述統計

答え: z = 0.6

標準化する

z = (69 − 60)/15 = 0.6

答え

z = 0.6

5.確率

答え: Var(X) = 3.31

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.1 + 2·0.35 + 4·0.35 + 6·0.2 = 3.3

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.1 + 4·0.35 + 16·0.35 + 36·0.2 = 14.2

分散

Var(X) = 14.2 − 3.3² = 3.31

答え

Var(X) = 3.31

6.確率

答え: E(G) = 1.4 €

純利得の結果

G: 8 (p = 0.3), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.69)

期待値

E(G) = 8·0.3 + 38·0.01 − 2·0.69 = 1.4 €

答え

E(G) = 1.4 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

7.正規分布

答え: P = 0.02275

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (769.7 − 750)/9.849 = 2

上側確率

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

答え

P = 0.02275

8.正規分布

答え: P = 0.7881

差の分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881

9.信頼区間

答え: E = 9.689 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 51.5 − 50 = 1.5

標準誤差

SE = √(19²/30 + 13²/80) = 3.761

誤差の幅

E = 2.576·3.761 = 9.689

答え

E = 9.689 h

区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。

10.信頼区間

答え: 下限 = 5.527 kg

プールした標準偏差

s_p² = (7·10² + 17·3.5²)/24 = 37.84

s_p = 6.152

誤差の幅

E = 1.711·6.152·√(1/8 + 1/18) = 4.473

区間

10 ± 4.473 → [5.527, 14.47]

答え

下限 = 5.527 kg

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

検定統計量

t = (74.4 − 75)/0.6667 = −0.9

答え

t = −0.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 7

n について解く

n = (1.96·4/3)² = 6.83

切り上げる

n = 7

答え

n = 7

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9968

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 126/6 = 21

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 106

決定係数

r² = −43²/(17.5·106) = 0.9968

答え

r² = 0.9968

y の変動の約 99.68% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = −3.25

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 227/5 = 45.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23

回帰直線

b = 23/10 = 2.3

a = 45.4 − 2.3·3 = 38.5

ŷ = 38.5 + 2.3·x

予測値

ŷ = 38.5 + 2.3·2.5 = 44.25

残差

e = 41 − 44.25 = −3.25

答え

e = −3.25

点は直線より下にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 0.7143

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

新薬: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84

プラセボ: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84

カイ二乗統計量

χ² = (33 − 36)²/36 + (87 − 84)²/84 + (39 − 36)²/36 + (81 − 84)²/84

χ² = 0.7143

答え

χ² = 0.7143

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 21.59

期待度数

18～30 歳: 30, 70

31～50 歳: 18, 42

51 歳以上: 18, 42

カイ二乗統計量

χ² = (20 − 30)²/30 + (80 − 70)²/70 + (14 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42 + (32 − 18)²/18 + (28 − 42)²/42

χ² = 21.59

判断

df = 2, χ²_crit = 9.210

21.59 > 9.210

答え

χ² = 21.59

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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