記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
折半法による信頼性は何を伴いますか？
- A2 人の観察者がそれぞれセッションの半分を担当すること
- B標本を実験群と統制群に分け、その得点を比べること
- C標本の 2 つの半分を異なる時期に検査すること
- D同じテストの 2 つの半分の得点を比べて内的一貫性を確認すること
2.心理学研究法むずかしい
あるメタ分析がある療法の 40 の研究を統合しています。全体の効果量がそれでも大きすぎる可能性があるのはなぜですか？
- Aメタ分析には無作為化試験を含められないから
- B研究を統合すれば常にすべてのバイアスが取り除かれるから
- C出版バイアスのために、未公刊の帰無結果の研究が抜けているかもしれないから
- Dメタ分析は、含まれる個々の研究より常に小さい効果を示すから
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：30, 32, 30, 10, 55, 36。
n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。92 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100σ = 10x = 92
P =
5.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.25, 0.3, 0.15
σ =
6.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 10 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.2 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 10p = 0.2k = 5
P =
7.正規分布ふつう
セメント袋 の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 5 個の合計質量が 123.3 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5> 123.3 kg
P =
8.正規分布むずかしい
試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの下位 70% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 65 点σ = 10 点70%
x = 点
9.信頼区間ふつう
12 個からなる標本の平均は 108.5、標準偏差は s = 8.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 12x̄ = 108.5s = 8.595%t(11) = 2.201
E =
10.信頼区間むずかしい
機械加工した 16 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 15 のとき、χ² 分布の 2.5% は 6.262 より下に、2.5% は 27.488 より上にあります。
n = 16s = 5.6 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 73.8、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75x̄ = 73.8s = 8n = 36
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 200 対 H₁: μ < 200 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 25 であることがわかっています。実際の平均は 194.5 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 200μ = 194.5σ = 25n = 100α = 0.10
1 − β = %
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 95Σy = 420Σx² = 1845Σy² = 36158Σxy = 8164
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (10, 78) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(10, 78)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 802 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
2 行 2 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。 この検定の自由度 df はいくつですか？
2 × 2
df =
3溶液
1.心理学研究法
答え: D · 同じテストの 2 つの半分の得点を比べて内的一貫性を確認すること
これが答えになる理由
両方の半分が同じ構成概念を測っていれば、その得点の相関は高くなるはずです。クロンバックのアルファは、この考え方をあらゆる可能な分け方に広げたものです。
答え
D · 同じテストの 2 つの半分の得点を比べて内的一貫性を確認すること
2.心理学研究法
答え: C · 出版バイアスのために、未公刊の帰無結果の研究が抜けているかもしれないから
これが答えになる理由
帰無結果があまり公刊されないと、統合された効果は過大になります。ファンネルプロットと未公刊データの探索がこれを見つけて減らすのに役立ちます。
答え
C · 出版バイアスのために、未公刊の帰無結果の研究が抜けているかもしれないから
3.記述統計
答え: s = 14.4
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 193/6 = 32.17
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−2.167)² + (−0.1667)² + (−2.167)² + (−22.17)² + 22.83² + 3.833² = 1037
標準偏差
s = √(1037/5) = 14.4
答え
s = 14.4
4.記述統計
答え: P = 0.2119
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.8
標準正規分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
答え
P = 0.2119
5.確率
答え: σ = 1.054
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.3 + 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.15 = 1.3
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.15 = 2.8
分散
Var(X) = 2.8 − 1.3² = 1.11
σ = √1.11 = 1.054
答え
σ = 1.054
6.確率
答え: P = 0.02642
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 5) = 252·0.25·0.85 = 252·0.00032·0.3277 = 0.02642
答え
P = 0.02642
7.正規分布
答え: P = 0.9357
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 125 kg, σT = 0.5·√5 = 1.118 kg
標準化する
z = (123.3 − 125)/1.118 = −1.52
確率
P = 1 − Φ(−1.52) = 0.9357
答え
P = 0.9357
8.正規分布
答え: x = 70.2 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.7
表からの z
z ≈ 0.52
元の単位に戻す
x = 65 + 0.52·10 = 70.2 点
答え
x = 70.2 点
9.信頼区間
答え: E = 5.401
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 11, t = 2.201
誤差の幅
E = 2.201·8.5/√12 = 5.401
答え
E = 5.401
10.信頼区間
答え: σ = 4.137 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 15·5.6² = 470.4
σ² の限界
470.4/27.488 = 17.11
470.4/6.262 = 75.12
σ の限界
σ = √17.11 = 4.137 µm
答え
σ = 4.137 µm
σ の 95% 区間：[4.137, 8.667] µm。
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.9
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333
検定統計量
t = (73.8 − 75)/1.333 = −0.9
答え
t = −0.9
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
12.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 82.07 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 200 − 1.282·2.5 = 196.8
真の平均のもとでの z
z = (196.8 − 194.5)/2.5 = 0.918
電力
検出力 = P(Z < 0.918) = 82.07%
1 − β = 82.07%
答え
1 − β = 82.07%
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9818
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 8164 − 95·420/5 = 184
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 36158 − 420²/5 = 878
相関係数
r = 184/√(40·878) = 0.9818
答え
r = 0.9818
14.線形回帰と相関
答え: e = −2.65
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 338/5 = 67.6
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174
回帰直線
b = 174/40 = 4.35
a = 67.6 − 4.35·7 = 37.15
ŷ = 37.15 + 4.35·x
予測値
ŷ = 37.15 + 4.35·10 = 80.65
残差
e = 78 − 80.65 = −2.65
答え
e = −2.65
点は直線より下にあります。
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 3.536
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
学生: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14
職員: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14
カイ二乗統計量
χ² = (9 − 8)²/8 + (21 − 18)²/18 + (10 − 14)²/14 + (7 − 8)²/8 + (15 − 18)²/18 + (18 − 14)²/14
χ² = 3.536
答え
χ² = 3.536
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: df = 1
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
答え
df = 1
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology