記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
実験で標準化された教示を使うのは何のためですか？
- A参加者が自分の条件を選べるようにするため
- B研究者が各参加者のニーズに合わせて手続きを調整できるようにするため
- C結果が統計的に有意になるようにするため
- Dすべての参加者が同じ情報を同じ方法で受け取るようにするため
2.心理学研究法むずかしい
質的研究における再帰性（リフレクシビティ）とは、研究者が何をすることですか？
- A自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する
- Bバイアスを除くために無作為標本を使う
- Cテーマを数値データに変換する
- D信頼性を確認するために研究を繰り返す
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：54, 26, 35, 60, 14, 30, 30。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 12 の正規分布に従います。85 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70σ = 12x = 85
z =
5.確率ふつう
公正なさいころを 2 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 2
P =
6.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 11 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.6 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 11p = 0.6k = 5
P =
7.正規分布ふつう
標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.5467 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
A = 0.5467
z =
8.正規分布むずかしい
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 65σ = 10P = 5%
x = 点
9.信頼区間ふつう
8 個からなる標本の平均は 110.5、標準偏差は s = 14 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 8x̄ = 110.5s = 1499%t(7) = 3.499
E =
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 38 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 38E = 295%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 120.4、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 120.4s = 5n = 64
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
16 回の測定の標本平均は 80.8 です。母標準偏差は 8 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 80.8σ = 8n = 1699%
U =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 6
r² =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 10 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 10
ŷ =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 2202 × 2
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
3 行 3 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。 この検定の自由度 df はいくつですか？
3 × 3
df =
3溶液
1.心理学研究法
答え: D · すべての参加者が同じ情報を同じ方法で受け取るようにするため
これが答えになる理由
標準化によって、手続きのばらつきが剰余変数になるのを防ぎ、研究を再現可能にします。
答え
D · すべての参加者が同じ情報を同じ方法で受け取るようにするため
2.心理学研究法
答え: A · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する
これが答えになる理由
再帰性は、データ収集と解釈に対する研究者の影響を認めるもので、質的研究の重要な質の基準です。
答え
A · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する
3.記述統計
答え: s = 16.1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 249/7 = 35.57
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 18.43² + (−9.571)² + (−0.5714)² + 24.43² + (−21.57)² + (−5.571)² + (−5.571)² = 1556
標準偏差
s = √(1556/6) = 16.1
答え
s = 16.1
4.記述統計
答え: z = 1.25
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (85 − 70)/12 = 1.25
答え
z = 1.25
5.確率
答え: P = 0.3056
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答え
P = 0.3056
6.確率
答え: P = 0.1471
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 5) = 462·0.65·0.46 = 462·0.07776·0.004096 = 0.1471
答え
P = 0.1471
7.正規分布
答え: z = 0.75
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
z の左側の面積
Φ(z) = (1 + 0.5467)/2 = 0.7734
z 表を逆に読む
表の中で 0.7734 を見つけ、z を読み取ります。
z = 0.75
答え
z = 0.75
8.正規分布
答え: x = 48.55 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
x に戻す
x = 65 + −1.645·10 = 48.55 点
答え
x = 48.55 点
9.信頼区間
答え: E = 17.32
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 7, t = 3.499
誤差の幅
E = 3.499·14/√8 = 17.32
答え
E = 17.32
10.信頼区間
答え: n = 1387
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·38/2)² = 1387
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 1387
答え
n = 1387
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.64
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625
検定統計量
t = (120.4 − 120)/0.625 = 0.64
答え
t = 0.64
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
12.仮説検定と信頼区間
答え: U = 85.95
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·8/√16 = 5.152
区間の端
U = 80.8 + 5.152 = 85.95
答え
U = 85.95
13.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9934
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 576/6 = 96
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 861
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4738
決定係数
r² = 861²/(157.5·4738) = 0.9934
答え
r² = 0.9934
y の変動の約 99.34% が直線で説明されます。
14.線形回帰と相関
答え: ŷ = 107.6
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 500/6 = 83.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 424
回帰直線
b = 424/70 = 6.057
a = 83.33 − 6.057·6 = 46.99
ŷ = 46.99 + 6.057·x
予測
ŷ = 46.99 + 6.057·10 = 107.6
答え
ŷ = 107.6
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 6
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
喫煙者: 100·99/220 = 45, 100·121/220 = 55
非喫煙者: 120·99/220 = 54, 120·121/220 = 66
カイ二乗統計量
χ² = (54 − 45)²/45 + (46 − 55)²/55 + (45 − 54)²/54 + (75 − 66)²/66
χ² = 6
答え
χ² = 6
df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。
16.カイ二乗検定
答え: df = 4
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
答え
df = 4
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