心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

データが順序尺度か明らかに正規でないとき、2 つの独立した群を比べる検定はどれですか？

Aカイ二乗検定
Bマン・ホイットニーの U 検定
Cウィルコクソンの符号順位検定
D対応のない t 検定

2.心理学研究法むずかしい

ある研究で、質問紙が同じ構成概念を測る確立したテストと強く相関することが示されました。これが支持するのはどれですか？

A再検査信頼性
B生態学的妥当性
C表面的妥当性
D併存的妥当性

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 50, 24, 34, 38。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。105 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 5x = 105

P =

5.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.3, 0.25, 0.15, 0.1

σ =

6.確率むずかしい

ゲームの参加費は €10 です。確率 0.2 で €50、確率 0.01 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €10€50: p = 0.2€100: p = 0.01

E(G) = €

7.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。29 から 37.1 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 37.1

P =

8.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 75% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

9.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：40 台、平均 61.5 h、既知の標準偏差 9 h。機種 2：50 台、平均 67 h、既知の標準偏差 17 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 40x̄₁ = 61.5 hσ₁ = 9 hn₂ = 50x̄₂ = 67 hσ₂ = 17 h90%

E = h

10.信頼区間むずかしい

機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 0.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。

n = 11s = 0.7 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 81 人の標本の平均点は 503.2、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 503.2s = 10n = 81

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

100 回の測定の標本平均は 497.9 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 497.9σ = 15n = 10099%

L =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 90Σy = 236Σx² = 1660Σy² = 11742Σxy = 4398

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (3.5, 19) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(3.5, 19)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「農村部、中」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 96列の合計 = 70N = 180

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2403 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: B · マン・ホイットニーの U 検定

これが答えになる理由

マン・ホイットニーの U 検定は、関連のない 2 群の間で順位を比べます。ウィルコクソンの符号順位検定は対応のある標本に使います。

答え

B · マン・ホイットニーの U 検定

2.心理学研究法

答え: D · 併存的妥当性

これが答えになる理由

併存的妥当性は、新しい測定がほぼ同時に行われた確立した測定と一致するときに示されます。

答え

D · 併存的妥当性

3.記述統計

答え: s = 9.381

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 185/5 = 37

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 2² + 13² + (−13)² + (−3)² + 1² = 352

標準偏差

s = √(352/4) = 9.381

答え

s = 9.381

4.記述統計

答え: P = 0.1587

標準化する

z = 1

標準正規分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

答え

P = 0.1587

5.確率

答え: σ = 1.236

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.2 + 1·0.3 + 2·0.25 + 3·0.15 + 4·0.1 = 1.65

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.3 + 4·0.25 + 9·0.15 + 16·0.1 = 4.25

分散

Var(X) = 4.25 − 1.65² = 1.528

σ = √1.528 = 1.236

答え

σ = 1.236

6.確率

答え: E(G) = 1 €

純利得の結果

G: 40 (p = 0.2), 90 (p = 0.01), −10 (p = 0.79)

期待値

E(G) = 40·0.2 + 90·0.01 − 10·0.79 = 1 €

答え

E(G) = 1 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

7.正規分布

答え: P = 0.4938

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

間の面積

P = Φ(0.85) − Φ(−0.5) = 0.8023 − 0.3085 = 0.4938

答え

P = 0.4938

8.正規分布

答え: x = 473 h

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.25

表からの z

z ≈ −0.67

元の単位に戻す

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

答え

x = 473 h

9.信頼区間

答え: E = 4.596 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 61.5 − 67 = −5.5

標準誤差

SE = √(9²/40 + 17²/50) = 2.794

誤差の幅

E = 1.645·2.794 = 4.596

答え

E = 4.596 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

10.信頼区間

答え: σ = 1.228 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 10·0.7² = 4.9

σ² の限界

4.9/20.483 = 0.2392

4.9/3.247 = 1.509

σ の限界

σ = √1.509 = 1.228 µm

答え

σ = 1.228 µm

σ の 95% 区間：[0.4891, 1.228] µm。

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.88

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

検定統計量

t = (503.2 − 500)/1.111 = 2.88

答え

t = 2.88

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: L = 494

誤差の幅

E = 2.576·15/√100 = 3.864

区間の端

L = 497.9 − 3.864 = 494

答え

L = 494

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.966

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 4398 − 90·236/5 = 150

S_xx = 1660 − 90²/5 = 40

S_yy = 11742 − 236²/5 = 602.8

相関係数

r = 150/√(40·602.8) = 0.966

答え

r = 0.966

14.線形回帰と相関

答え: e = −2.65

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 113/5 = 22.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

回帰直線

b = −19/10 = −1.9

a = 22.6 − (−1.9)·3 = 28.3

ŷ = 28.3 − 1.9·x

予測値

ŷ = 28.3 + (−1.9)·3.5 = 21.65

残差

e = 19 − 21.65 = −2.65

答え

e = −2.65

点は直線より下にあります。

15.カイ二乗検定

答え: E = 37.33

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 96·70/180 = 37.33

答え

E = 37.33

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 30.45

期待度数

工場 A: 70, 30

工場 B: 28, 12

工場 C: 70, 30

カイ二乗統計量

χ² = (51 − 70)²/70 + (49 − 30)²/30 + (31 − 28)²/28 + (9 − 12)²/12 + (86 − 70)²/70 + (14 − 30)²/30

χ² = 30.45

判断

df = 2, χ²_crit = 9.210

30.45 > 9.210

答え

χ² = 30.45

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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