記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
各条件に異なる参加者を用いるデザインはどれですか？
- A独立群デザイン
- B反復測定デザイン
- C参加者内デザイン
- D同じ人によるマッチド・ペア・デザイン
2.心理学研究法むずかしい
研究者は、新しい不安尺度がうつとは異なるものを測っていることを示したいと考えています。うつ尺度との相関が低ければ、何が支持されますか？
- A予測的妥当性
- B表面的妥当性
- C弁別的妥当性
- D収束的妥当性
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 49, 13, 34, 10, 25, 48。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 170、標準偏差 15 の正規分布に従います。140 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 170σ = 15x = 140
z =
5.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.25, 0.25, 0.2
σ =
6.確率むずかしい
ゲームの参加費は €10 です。確率 0.1 で €40、確率 0.05 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €10€40: p = 0.1€100: p = 0.05
E(G) = €
7.正規分布ふつう
配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。32 から 43.1 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 43.1
P =
8.正規分布むずかしい
試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの上位 20% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 65 点σ = 10 点20%
x = 点
9.信頼区間ふつう
21 個からなる標本の平均は 110.5、標準偏差は s = 6 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 21x̄ = 110.5s = 695%t(20) = 2.086
下限 =
10.信頼区間むずかしい
機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 8.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。
n = 21s = 8.7 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 102.9、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100x̄ = 102.9s = 12n = 49
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 13 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 80%δ = 5σ = 13zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 6Σx = 21Σy = 370Σx² = 91Σy² = 23168Σxy = 1371
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 25.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 25.5
ŷ =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 1602 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
カイ二乗適合度検定で、9 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。 表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究法
答え: A · 独立群デザイン
これが答えになる理由
独立群デザインでは各条件の参加者が異なるため、順序効果は避けられますが、参加者変数の影響のおそれがあります。
答え
A · 独立群デザイン
2.心理学研究法
答え: C · 弁別的妥当性
これが答えになる理由
弁別的（発散的）妥当性は、測定が異なる構成概念の測定と弱く相関するときに示されます。収束的妥当性は、同じ構成概念の測定と高く相関することです。
答え
C · 弁別的妥当性
3.記述統計
答え: s = 18.9
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 238/7 = 34
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 25² + 15² + (−21)² + 0² + (−24)² + (−9)² + 14² = 2144
標準偏差
s = √(2144/6) = 18.9
答え
s = 18.9
4.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (140 − 170)/15 = −2
答え
z = −2
5.確率
答え: σ = 1.108
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.3 + 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.2 = 1.35
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.2 = 3.05
分散
Var(X) = 3.05 − 1.35² = 1.227
σ = √1.227 = 1.108
答え
σ = 1.108
6.確率
答え: E(G) = −1 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 30 (p = 0.1), 90 (p = 0.05), −10 (p = 0.85)
期待値
E(G) = 30·0.1 + 90·0.05 − 10·0.85 = −1 €
答え
E(G) = −1 €
負の値は、平均して損をすることを意味します。
7.正規分布
答え: P = 0.4678
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (43.1 − 32)/6 = 1.85
間の面積
P = Φ(1.85) − Φ(0) = 0.9678 − 0.5 = 0.4678
答え
P = 0.4678
8.正規分布
答え: x = 73.4 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.8
表からの z
z ≈ 0.84
元の単位に戻す
x = 65 + 0.84·10 = 73.4 点
答え
x = 73.4 点
9.信頼区間
答え: 下限 = 107.8
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 20, t = 2.086
誤差の幅
E = 2.086·6/√21 = 2.731
区間
110.5 ± 2.731 → [107.8, 113.2]
答え
下限 = 107.8
10.信頼区間
答え: σ = 6.656 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 20·8.7² = 1514
σ² の限界
1514/34.17 = 44.3
1514/9.591 = 157.8
σ の限界
σ = √44.3 = 6.656 µm
答え
σ = 6.656 µm
σ の 95% 区間：[6.656, 12.56] µm。
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.692
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
検定統計量
t = (102.9 − 100)/1.714 = 1.692
答え
t = 1.692
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
12.仮説検定と信頼区間
答え: n = 68
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 0.842)·13/5)² = 67.84
切り上げる
n = 68
答え
n = 68
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9692
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 1371 − 21·370/6 = 76
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 23168 − 370²/6 = 351.3
相関係数
r = 76/√(17.5·351.3) = 0.9692
答え
r = 0.9692
14.線形回帰と相関
答え: ŷ = 120.6
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 501/5 = 100.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 408
回帰直線
b = 408/90 = 4.533
a = 100.2 − 4.533·21 = 5
ŷ = 5 + 4.533·x
予測
ŷ = 5 + 4.533·25.5 = 120.6
答え
ŷ = 120.6
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 0.2407
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
学生: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14
職員: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42
カイ二乗統計量
χ² = (9 − 8)²/8 + (17 − 18)²/18 + (14 − 14)²/14 + (23 − 24)²/24 + (55 − 54)²/54 + (42 − 42)²/42
χ² = 0.2407
答え
χ² = 0.2407
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: χ²crit = 15.51
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = 9 − 1 = 8
表
χ²crit(df = 8, α = 0.05) = 15.507
答え
χ²crit = 15.507
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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