記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
p 値が 0.03 であるとは、どういう意味ですか？
- A観察されたデータのもとで、帰無仮説が正しい確率は 3% しかない
- B帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である
- C結果は 97% の確率で再現される
- D効果が大きい
2.心理学研究法むずかしい
ある心理学科は、心理学入門の授業からだけ参加者を募集しています。批判者は標本が「WEIRD」だと言います。これは何を指していますか？
- A一般化できないかもしれない、西洋の、教育を受けた、工業化された、豊かで、民主的な社会の標本
- B重みづけ無作為法で募集された標本
- C行動が異常に奇妙な標本
- D研究から早く脱落する標本
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：52, 55, 49, 24, 34, 32。
n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。387.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 500σ = 75x = 387.5
P =
5.確率ふつう
公正なさいころを 5 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 5
P =
6.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 6p = 0.25k = 5
P =
7.正規分布ふつう
X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 35.1 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.1 min
P =
8.正規分布むずかしい
穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.信頼区間ふつう
σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 9.3 です。 50 個の観測値に基づく 90% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
95%n₁ = 25E₁ = 9.390%n₂ = 50
E₂ =
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 34 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 34E = 1.590%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 97.8、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100x̄ = 97.8s = 10n = 100
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 10E = 0.599%
n =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (7.5, 73) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 6(7.5, 73)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 1402 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究法
答え: B · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である
これが答えになる理由
p 値は、帰無仮説が正しい場合に、観測された結果と同じかそれ以上に極端な結果が得られる確率です。仮説が正しい確率や効果の大きさを示すものではありません。
答え
B · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である
2.心理学研究法
答え: A · 一般化できないかもしれない、西洋の、教育を受けた、工業化された、豊かで、民主的な社会の標本
これが答えになる理由
ヘンリックらは、心理学の参加者のほとんどが人類を代表しない WEIRD な社会の出身であり、母集団的妥当性が脅かされていると指摘しました。
答え
A · 一般化できないかもしれない、西洋の、教育を受けた、工業化された、豊かで、民主的な社会の標本
3.記述統計
答え: s = 12.65
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 246/6 = 41
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 11² + 14² + 8² + (−17)² + (−7)² + (−9)² = 800
標準偏差
s = √(800/5) = 12.65
答え
s = 12.65
4.記述統計
答え: P = 0.06681
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.5
標準正規分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答え
P = 0.06681
5.確率
答え: P = 0.5981
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
答え
P = 0.5981
6.確率
答え: P = 0.004395
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 5) = 6·0.255·0.751 = 6·0.0009766·0.75 = 0.004395
答え
P = 0.004395
7.正規分布
答え: P = 0.1075
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
和の分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
標準化する
z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24
上側確率
P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075
答え
P = 0.1075
8.正規分布
答え: P = 0.9633
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
差の分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm
標準化する
z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79
確率
P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633
答え
P = 0.9633
9.信頼区間
答え: E₂ = 5.519
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(25/50) = 0.5935
新しい誤差の幅
E₂ = 9.3·0.5935 = 5.519
答え
E₂ = 5.519
10.信頼区間
答え: n = 1391
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.645·34/1.5)² = 1390
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 1391
答え
n = 1391
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
検定統計量
t = (97.8 − 100)/1 = −2.2
答え
t = −2.2
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
12.仮説検定と信頼区間
答え: n = 2655
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (2.576·10/0.5)² = 2654
切り上げる
n = 2655
答え
n = 2655
13.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9383
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 262/5 = 52.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51
Syy = Σ(y − ȳ)² = 277.2
決定係数
r² = 51²/(10·277.2) = 0.9383
答え
r² = 0.9383
y の変動の約 93.83% が直線で説明されます。
14.線形回帰と相関
答え: e = 4.233
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 343/6 = 57.17
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 101.5
回帰直線
b = 101.5/17.5 = 5.8
a = 57.17 − 5.8·5.5 = 25.27
ŷ = 25.27 + 5.8·x
予測値
ŷ = 25.27 + 5.8·7.5 = 68.77
残差
e = 73 − 68.77 = 4.233
答え
e = 4.233
点は直線より上にあります。
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 1.142
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
都市部: 60·42/140 = 18, 60·42/140 = 18, 60·56/140 = 24
農村部: 80·42/140 = 24, 80·42/140 = 24, 80·56/140 = 32
カイ二乗統計量
χ² = (16 − 18)²/18 + (17 − 18)²/18 + (27 − 24)²/24 + (26 − 24)²/24 + (25 − 24)²/24 + (29 − 32)²/32
χ² = 1.142
答え
χ² = 1.142
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: χ² = 10.67
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
工場 A: 18, 42
工場 B: 30, 70
工場 C: 12, 28
カイ二乗統計量
χ² = (18 − 18)²/18 + (42 − 42)²/42 + (22 − 30)²/30 + (78 − 70)²/70 + (20 − 12)²/12 + (20 − 28)²/28
χ² = 10.67
判断
df = 2, χ²crit = 9.210
10.67 > 9.210
答え
χ² = 10.67
χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。
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