記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
正規分布では、得点のおよそ何パーセントが平均から 1 標準偏差以内にありますか？
- A68%
- B99.7%
- C50%
- D95%
2.心理学研究法むずかしい
実験で参加者を条件に無作為に割り当てる主な目的は何ですか？
- A結果が一般化できるよう、標本を対象とする母集団の代表にするため
- B参加者変数を均等に分配し、結果を交絡させないようにする
- C回答率を上げる
- D参加者が目的を知らないようにする
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：23, 38, 58, 18, 48。
n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 15 の正規分布に従います。176 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170σ = 15x = 176
P =
5.確率ふつう
示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.2, 0.25, 0.05
Var(X) =
6.確率むずかしい
ゲームの参加費は €10 です。確率 0.15 で €50、確率 0.05 で €200 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €10€50: p = 0.15€200: p = 0.05
E(G) = €
7.正規分布ふつう
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。77.5 から 103 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 100σ = 15x1 = 77.5x2 = 103
P =
8.正規分布むずかしい
IQ スコア は、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。色つきの下位 40% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 100 点σ = 15 点40%
x = 点
9.信頼区間ふつう
30 個からなる標本の平均は 86、標準偏差は s = 15.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 30x̄ = 86s = 15.590%t(29) = 1.699
下限 =
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 32 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 32E = 2.595%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 205.4、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200x̄ = 205.4s = 15n = 64
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
25 回の測定の標本平均は 100.2 です。母標準偏差は 4 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 100.2σ = 4n = 2599%
L =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 30Σy = 120Σx² = 220Σy² = 3394Σxy = 862
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5, 25) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(5, 25)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 1802 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
カイ二乗適合度検定で、8 個のカテゴリーの度数が、同じデータから平均を推定したポアソン分布に従うかどうかを調べます。 表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究法
答え: A · 68%
これが答えになる理由
得点の約 68% が ±1 SD 以内、約 95% が ±2 SD 以内、約 99.7% が ±3 SD 以内に入ります。
答え
A · 68%
2.心理学研究法
答え: B · 参加者変数を均等に分配し、結果を交絡させないようにする
これが答えになる理由
無作為割り当ては条件間の個人差を均衡させ、因果的な結論を支えます。無作為抽出は母集団への一般化に関わります。
答え
B · 参加者変数を均等に分配し、結果を交絡させないようにする
3.記述統計
答え: s = 16.73
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 185/5 = 37
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−14)² + 1² + 21² + (−19)² + 11² = 1120
標準偏差
s = √(1120/4) = 16.73
答え
s = 16.73
4.記述統計
答え: P = 0.3446
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 0.4
標準正規分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
答え
P = 0.3446
5.確率
答え: Var(X) = 1.75
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.05 = 1.5
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.05 = 4
分散
Var(X) = 4 − 1.5² = 1.75
答え
Var(X) = 1.75
6.確率
答え: E(G) = 7.5 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 40 (p = 0.15), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.8)
期待値
E(G) = 40·0.15 + 190·0.05 − 10·0.8 = 7.5 €
答え
E(G) = 7.5 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
7.正規分布
答え: P = 0.5125
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (77.5 − 100)/15 = −1.5
z₂ = (103 − 100)/15 = 0.2
間の面積
P = Φ(0.2) − Φ(−1.5) = 0.5793 − 0.06681 = 0.5125
答え
P = 0.5125
8.正規分布
答え: x = 96.3 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.4
表からの z
z ≈ −0.25
元の単位に戻す
x = 100 − 0.25·15 = 96.3 点
答え
x = 96.3 点
9.信頼区間
答え: 下限 = 81.19
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 29, t = 1.699
誤差の幅
E = 1.699·15.5/√30 = 4.808
区間
86 ± 4.808 → [81.19, 90.81]
答え
下限 = 81.19
10.信頼区間
答え: n = 630
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·32/2.5)² = 629.4
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 630
答え
n = 630
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.88
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875
検定統計量
t = (205.4 − 200)/1.875 = 2.88
答え
t = 2.88
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
12.仮説検定と信頼区間
答え: L = 98.14
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·4/√25 = 2.061
区間の端
L = 100.2 − 2.061 = 98.14
答え
L = 98.14
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9903
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 862 − 30·120/5 = 142
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3394 − 120²/5 = 514
相関係数
r = 142/√(40·514) = 0.9903
答え
r = 0.9903
14.線形回帰と相関
答え: e = 2.3
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 134/5 = 26.8
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
回帰直線
b = 164/40 = 4.1
a = 26.8 − 4.1·6 = 2.2
ŷ = 2.2 + 4.1·x
予測値
ŷ = 2.2 + 4.1·5 = 22.7
残差
e = 25 − 22.7 = 2.3
答え
e = 2.3
点は直線より上にあります。
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 2.8
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
日勤: 60·36/180 = 12, 60·81/180 = 27, 60·63/180 = 21
夜勤: 120·36/180 = 24, 120·81/180 = 54, 120·63/180 = 42
カイ二乗統計量
χ² = (13 − 12)²/12 + (31 − 27)²/27 + (16 − 21)²/21 + (23 − 24)²/24 + (50 − 54)²/54 + (47 − 42)²/42
χ² = 2.8
答え
χ² = 2.8
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: χ²crit = 12.59
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = 8 − 1 − 1 = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592
答え
χ²crit = 12.592
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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