記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
同じ 25 人の参加者がカフェインの前と後に記憶テストを受けます。得点は間隔尺度でほぼ正規分布です。適切な検定はどれですか？
- Aカイ二乗検定
- B対応のない t 検定
- Cマン・ホイットニーの U 検定
- D対応のある t 検定
2.心理学研究法むずかしい
ある「知能」テストは、主に人がどれだけ速くタイプできるかを測っています。最も明らかに欠けている妥当性はどれですか？
- A再検査信頼性
- B評定者間信頼性
- C構成概念妥当性
- D内的一貫性
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 44, 34, 21, 31, 39, 43。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 15 の正規分布に従います。147.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170σ = 15x = 147.5
P =
5.確率ふつう
袋に赤玉 4 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？
4 / 6
P =
6.確率むずかしい
あるテストには選択問題が 8 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.1 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？
n = 8p = 0.1k = 5
P =
7.正規分布ふつう
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。169.6 から 188.85 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 178σ = 7x1 = 169.6x2 = 188.85
P =
8.正規分布むずかしい
成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 25% がそれより下にある値 x（第 25 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
9.信頼区間ふつう
15 個からなる標本の平均は 111、標準偏差は s = 20 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 15x̄ = 111s = 2090%t(14) = 1.761
上限 =
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 6 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 6E = 295%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 118.5、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 118.5s = 4n = 36
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
64 回の測定の標本平均は 51.9 です。母標準偏差は 8 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 51.9σ = 8n = 6499%
U =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 15Σy = 264Σx² = 55Σy² = 14248Σxy = 847
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 25.5 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 25.5
ŷ =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 2002 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
カイ二乗適合度検定で、7 個のカテゴリーの度数が、同じデータから平均を推定したポアソン分布に従うかどうかを調べます。 表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究法
答え: D · 対応のある t 検定
これが答えになる理由
対応のある t 検定は、各人の中での差を使って、2 つの条件での同じ参加者の平均を比べます。
答え
D · 対応のある t 検定
2.心理学研究法
答え: C · 構成概念妥当性
これが答えになる理由
構成概念妥当性は、測定が根底にある構成概念を本当に反映しているかどうかです。テストは信頼性が高くても、間違ったものを測っていることがあります。
答え
C · 構成概念妥当性
3.記述統計
答え: s = 7.889
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 247/7 = 35.29
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−0.2857)² + 8.714² + (−1.286)² + (−14.29)² + (−4.286)² + 3.714² + 7.714² = 373.4
標準偏差
s = √(373.4/6) = 7.889
答え
s = 7.889
4.記述統計
答え: P = 0.06681
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.5
標準正規分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答え
P = 0.06681
5.確率
答え: P = 0.1333
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
1 回目と 2 回目
P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0.1333
答え
P = 0.1333
6.確率
答え: P = 0.0004082
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二項分布の公式
P(X = 5) = 56·0.15·0.93 = 56·1 × 10⁻⁵·0.729 = 0.0004082
答え
P = 0.0004082
7.正規分布
答え: P = 0.8244
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (169.6 − 178)/7 = −1.2
z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55
間の面積
P = Φ(1.55) − Φ(−1.2) = 0.9394 − 0.1151 = 0.8244
答え
P = 0.8244
8.正規分布
答え: x = 173.3 cm
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
x に戻す
x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm
答え
x = 173.28 cm
9.信頼区間
答え: 上限 = 120.1
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 14, t = 1.761
誤差の幅
E = 1.761·20/√15 = 9.094
区間
111 ± 9.094 → [101.9, 120.1]
答え
上限 = 120.1
10.信頼区間
答え: n = 35
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·6/2)² = 34.57
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 35
答え
n = 35
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.25
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
検定統計量
t = (118.5 − 120)/0.6667 = −2.25
答え
t = −2.25
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
12.仮説検定と信頼区間
答え: U = 54.48
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅
E = 2.576·8/√64 = 2.576
区間の端
U = 51.9 + 2.576 = 54.48
答え
U = 54.48
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9897
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 847 − 15·264/5 = 55
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 14248 − 264²/5 = 308.8
相関係数
r = 55/√(10·308.8) = 0.9897
答え
r = 0.9897
14.線形回帰と相関
答え: ŷ = 115.5
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 610/6 = 101.7
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 726
回帰直線
b = 726/157.5 = 4.61
a = 101.7 − 4.61·22.5 = −2.048
ŷ = −2.048 + 4.61·x
予測
ŷ = −2.048 + 4.61·25.5 = 115.5
答え
ŷ = 115.5
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 9
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
日勤: 80·100/200 = 40, 80·50/200 = 20, 80·50/200 = 20
夜勤: 120·100/200 = 60, 120·50/200 = 30, 120·50/200 = 30
カイ二乗統計量
χ² = (30 − 40)²/40 + (23 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20 + (70 − 60)²/60 + (27 − 30)²/30 + (23 − 30)²/30
χ² = 9
答え
χ² = 9
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却される。
16.カイ二乗検定
答え: χ²crit = 11.07
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = 7 − 1 − 1 = 5
表
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
答え
χ²crit = 11.070
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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